Y X n (a, b) A 0 ( x 0, y 0 ) A (x, y) ax + by + c = 0 = a(x-x 0 )+b(y-y 0 ) 0. ;( )

Выпуклые многоугольники Пусть стороны выпуклого многоугольника лежат на прямых, задаваемых уравнениями Которая и определяет этот многоугольник. a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, , a n x + b n y + c n = 0. Тогда сам многоугольник является пересечением соответствующих полуплоскостей и, следовательно, для его точек должна выполняться система неравенств вида

Квадрат Например, неравенства которые можно переписать в виде системы определяют единичный квадрат. Если к этим неравенствам добавить еще одно неравенство то соответствующий многоугольник получается из квадрата отсечением треугольника.

Пример 1 Найдите неравенства, задающие треугольник с вершинами A(1, 0), B(0, 1), C(1, 1). x y O B A C

A(1, 0), B(0, 1), C(1, 1). AB: x y O B A x + y - 1 = 0. BC: C y - 1 = 0. AC: x - 1 = 0. C(1, 1). x + y - 1 = 0. 1 > 0 x + y – 1 > 0. A(1, 0) y - 1 =

Упражнение 1 Определите, какой полуплоскости 5x + 3y или 5x + 3y – 2 0 принадлежат точки: а) А(1,0); б) B(0,1); в) C(0,0). 5x + 3y - 2 А(1,0) 5 - 2> 0 5x + 3y B(0,1) 5x + 3y > 0 5x + 3y C(0,0) 5x + 3y < 0 5x + 3y – 2 0

Упражнение 2 Какую фигуру задает следующая система неравенств x y O 3 5 Ответ: Прямоугольник.

Уравнение 4ay = x 2 задает параболу, с фокусом F (0, a) и директрисой y = -a. x y O F F (0, a) A (x, y) - - a директриса Уравнение параболы

Для параболы, заданной уравнением y = x 2, найдите координаты а и уравнение директрисы. Пример 1 4ay = x 2 a = 1 4 y = x 2 4a=1 F F (0, ) 1 4 y = 1 4 уравнение директрисы: Фокус

Для параболы, заданной уравнением y 2 = x., найдите координаты а и уравнение директрисы. Пример 2 4ax = y 2 a = 1 4 x = y 2 4a=1 F F (0, ) 1 4 x = 1 4 уравнение директрисы: Фокус

Уравнение (a > b) задает эллипс, с фокусами F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0), где Уравнение эллипса x y O A (x, y) F1F1 F2F2 F 1 A + F 2 A - const

Пример 1 В каком случае уравнение эллипса дает окружность? a = b. x2x2 a2a2 y2y2 a2a2 +=1 x 2 +y 2 =a 2 x 2 +y 2 =r 2

Пример 2 Для эллипса, заданного уравнением x 2 + y 2 = 1, найдите координаты фокусов. F 1 (0, -1), F 2 (0, 1), a 2 =1b 2 =2 a > b x2x2 b2b2 y2y2 a2a2 += 1

Уравнение гиперболы Уравнение (a > b) задает гиперболу, с фокусами F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0), где.

Упражнение 6 Для гиперболы, заданной уравнением x 2 - y 2 = 1, найдите координаты фокусов. Ответ: F 1 (-, 0), F 2 (, 0).