Подготовила: Ученица 11 класса МОУ Поварёнской СОШ Маляева Олеся - Поварёнка 2008-

Сфера - это фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на данном расстоянии.

О - центром сферы R-радиус сферы - диаметр Сферу обозначают так: ω ( O, R ). Можно определить сферу и как тело, образованное при вращении окружности вокруг своего диаметра.

Вписанная сфера Говорят, что сфера вписана в многогранник, если она касается всех граней этого многогранника

Описанная сфера Сфера называется описанной около многогранника, если все его вершины лежат на сфере

Первый случай Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса этой сферы, то плоскость пересекает сферу и в сечение получается круг Второй случай Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса этой сферы, то плоскость и сфера не имеет общих точек

Третий случай Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиуса этой сферы, то плоскость и сфера имеют одну общую точку – точку касания

Касательная плоскость к сфере. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Теорема: Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство: Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА- наклонная к плоскости, след. ОА > R, но т.А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.ч.т.д. Касательная плоскость к сфере

Доказательство: Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере. ч.т.д. Теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. Касательная плоскость к сфере

Площадь сферы: Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер кождой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычесления площади сферы радиуса R : S=4ПR Объем сферы

Проведем плоскость через точки A, B и центр сферы, в сечении получим окружность. Рассмотрим меньшую из дуг AB этой окружности и выберем на ней произвольную точку M. Теорема о кратчайшем пути на сфере Кратчайшим путем на сфере, соединяющим две ее точки A и B, является меньшая из двух дуг AB большой окружности, проходящей через A и B. Доказательство Нашей ближайшей целью будет доказательство того, что кратчайший путь, соединяющий A и B, должен пройти через M. Обозначим центр сферы O и проведем через точку M две плоскости, перпендикулярные радиусам OA и OB. Эти плоскости пересекут сферу по двум окружностям w и u, которые имеют единственную общую точку – точку M. Рассмотрим теперь произвольный путь из A в B, не проходящий через M. Обозначим точку пересечения рассматриваемого пути с окружностью w через K, а с окружностью u – через P. Очевидно, что существует путь, соединяющий точки A и M, такой же длины, что путь, соединяющий A и K. Действительно, в этом легко убедиться, повернув окружность w вокруг OA так, чтобы точка K перешла в точку M. Аналогично, существует путь, между B и M такой же длины, что и путь между B и P. Отсюда следует, что кратчайший путь между A и B должен проходить через M. А поскольку M – произвольная точка меньшей дуги AB, то теорема доказана