Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра вычислительных методов Дипломная работа СТУДЕНТКИ 506 ГРУППЫ Меняйловой Марии Анатольевны Построение консервативной разностной схемы для уравнений гемодинамики Научный руководитель профессор, д. ф.-м. н. Фаворский А.П.

Постановка задачи Требуется найти установившееся решение системы уравнений гемодинамики: -- плотность крови; сила тяжести,- сила трения; ускорение свободного падения,-- коэффициент перегрузки; -- угол между осью сосуда и вектором -- коэффициент кинематической вязкости крови. Граничные условия: на левом конце сосуда задан расход -- некоторые постоянные;на правом конце – постоянное давление – пространственная координата; – временная координата; – площадь поперечного сечения сосуда; – скорость движения крови в сосуде; – давление крови в сосуде;

Цели работы 1. Построить и провести тестирование безусловно устойчивой схемы второго порядка точности, обладающей свойством консервативности для уравнения состояния общего вида. 2. Исследовать возможность возникновения сверхзвукового режима в стационарном течении в кровеносном сосуде в различных граничных режимах. 3. Выяснить влияние уравнения состояния на возможность достижения сверхзвукового течения. 4. Провести численные эксперименты, моделирующие гравитационную нагрузку.

Разностная схема Вводится сетка с шагами по пространствуи по времени P, U и S в узлах на старом временном слое; P и U в узлах на новом временном слое; U в центрах ячеек на старом временном слое; U и S в центрах ячеек на новом временном слое; разностные аппроксимации Система получается эквивалентными преобразованиями разностной аппроксимации исходной системы.

Свойства разностной схемы 1.Консервативность: выполнены законы сохранения массы и импульса для каждой ячейки сетки. 2. Устойчивость: схема является абсолютно устойчивой при и неустойчивой при 3. Порядок аппроксимации: 4. Скорость сходимости:

Итерационный алгоритм 1 Метод простых итераций Здесь k – номер итерации. На каждом шаге по времени возникает система нелинейных уравнений относительно функций(с учетом УРС и делаются итерации до достижения заданной точности (уменьшения начальной невязки).

Итерационный алгоритм 2 Метод поправок Здесь k – номер итерации. Правая часть, в отличие от Алгоритма 1, определяется новой итерацией, поэтому для линеаризации используются соотношения: гдекомпоненты вектора поправки. Подставляя в исходную систему и пренебрегая членами получаем систему линейных уравнений относительно поправок. Решая ее, находим новое итерационное приближение.

Поиск аналитического решения в стационарном случае Пусть гравитационные силы отсутствуют, то есть Аналитическое решение: и уравнение состояния имеет вид:

Исследование характера течения Функция Маха:скорость звука. Аналитическое решение относительно переменной Маха имеет вид: Анализируя график, можно заключить, что при начальном дозвуковом течении переход к сверхзвуковому режиму физически невозможен.

Цели численных экспериментов 1. Проверка практической точности разностной схемы. 2. Оценка эффективности итерационных методов. 3. Проверка правильности программы на основе аналитического решения. 4. Сравнение двух моделей уравнения состояния. 5. Оценка применимости модели с учетом перегрузок.

1. Проверка практической точности разностной схемы

2. Оценка эффективности итерационных методов Число Куранта Макс. кол-во итераций в мет. поправок Макс. кол-во итераций в мет. простых итераций Время счета метода поправок (секунды) Время счета мет. простых итераций (секунды)

3. Проверка правильности программы на основе аналитического решения

4. Сравнение двух моделей уравнения состояния Модель со вторым уравнением более гибкая в отношении расчетов.

4. Сравнение двух моделей уравнения состояния(продолжение) Использование УРС 2 позволяет расширить применимость модели. УРС 2:УРС 1:

5. Оценка применимости модели с учетом перегрузок УРС 1:УРС 2:

Основные результаты 1.Построена нелинейная консервативная разностная схема с весом для системы уравнений гемодинамики. Проведено исследование порядка аппроксимации, устойчивости и точности схемы. Показан второй порядок аппроксимации по пространству для всего семейства схем; второй порядок по времени при и первый – для всех остальных схем. Выяснено, что линеаризованная схема безусловно устойчива при и неустойчива при. Оценки для скорости сходимости и устойчивости исходной нелинейной схемы подтверждаются численными исследованиями. 2.Разработаны и реализованы два алгоритма решения системы нелинейных разностных уравнений гемодинамики: метод простых итераций и метод поправок. Численные эксперименты показали, что второй метод надежнее, чем первый. 3.Найдено и исследовано аналитическое решение системы уравнений гемодинамики в частном случае: с простейшим уравнением состояния и в отсутствие гравитации. Показано, что в стационарном течении непрерывный переход к сверхзвуковому течению невозможен. 4.В ходе численных экспериментов было выяснено, что УРС оказывает принципиальное влияние на характер течения. Так, при расчетах с нелинейным уравнением, достижения скорости звука не наблюдалось.