Свойства функций Свойства функций Выполнили: Царук Ксения Быкова Ксения Проверила: Сальманова Наталья Ивановна

Понятие функции Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу x из множества X определенное число y,то говорят, что задана функция y=f(x).

Монотонность Функцию называют возрастающей на множестве X D(f), если для любых точек x 1 и x 2 множества X,таких что x 1 f(x 2 ). Функцию называют возрастающей на множестве X D(f), если для любых точек x 1 и x 2 множества X,таких что x 1 f(x 2 ).

Функцию называют убывающей на множестве X D(f), если для любых точек x 1 и x 2 множества X,таких что x 1 f(x 2 ). Функцию называют убывающей на множестве X D(f), если для любых точек x 1 и x 2 множества X,таких что x 1 f(x 2 ). Монотонность

Ограниченность Функцию y=f(x) называют ограниченной снизу на множестве X D(f), если все значения этой функции на множестве X больше некоторого числа.(Иными словами, если существует число m, такое, что для любого значения x X выполняется неравенство f(x)< m). Функцию y=f(x) называют ограниченной снизу на множестве X D(f), если все значения этой функции на множестве X больше некоторого числа.(Иными словами, если существует число m, такое, что для любого значения x X выполняется неравенство f(x)< m).

Функцию y=f(x) называют ограниченной сверху на множестве X D(f), если все значения этой функции на множестве X меньше некоторого числа.(Иными словами, если существует число М, такое, что для любого значения x X выполняется неравенство f(x)

Наибольшее и наименьшее значение Число m называют наименьшим значением функции y=f(x) на множестве X D(f), если: Число m называют наименьшим значением функции y=f(x) на множестве X D(f), если: 1. Во множестве X существует точка x 0, такая, что f(x 0 )=m. 1. Во множестве X существует точка x 0, такая, что f(x 0 )=m. 2. Для всех значений x из множества X выполняется неравенство f(x) f(x 0 ). 2. Для всех значений x из множества X выполняется неравенство f(x) f(x 0 ).

Число M называют наибольшим значением функции y=f(x) на множестве X D(f), если: Число M называют наибольшим значением функции y=f(x) на множестве X D(f), если: 1. Во множестве X существует точка x 0, такая, что f(x 0 )=М. 1. Во множестве X существует точка x 0, такая, что f(x 0 )=М. 2. Для всех значений x из множества X выполняется неравенство f(x) f(x 0 ). 2. Для всех значений x из множества X выполняется неравенство f(x) f(x 0 ). Наибольшее и наименьшее значение

Точки экстремума Точку x 0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки x 0 ) выполняется неравенство f(x)

На графике есть несколько точек экстремума:x 1 и x 3 -точки максимума, а x 2 и x 4 –точки минимума. На графике есть несколько точек экстремума:x 1 и x 3 -точки максимума, а x 2 и x 4 –точки минимума.

Выпуклость Функция выпукла вниз на промежутке X D(f), если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка. Функция выпукла вниз на промежутке X D(f), если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх на промежутке X D(f), если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка. Функция выпукла вверх на промежутке X D(f), если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка. Выпуклость

Четность Функцию y=f(x), x X, называют четной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(-x)=f(x). Функцию y=f(x), x X, называют четной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(-x)=f(x). Функцию y=f(x), x X, называют нечетной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(-x)=-f(x). Функцию y=f(x), x X, называют нечетной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(-x)=-f(x).

Алгоритм исследования функции y=f(x), xX, на четность 1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной, ни нечетной. Если да, то перейти ко второму шагу алгоритма. 1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной, ни нечетной. Если да, то перейти ко второму шагу алгоритма. 2. Найти f(-x). 2. Найти f(-x). 3. Сравнить f(-x) и f(x). 3. Сравнить f(-x) и f(x). А) Если f(-x)=f(x), то функция четная; Б) Если f(-x)=-f(x), то функция нечетная.

Если функция y=f(x), x X, четная или нечетная, то ее область определения X- симметричное множество. Если функция y=f(x), x X, четная или нечетная, то ее область определения X- симметричное множество. График четной функции симметричен относительно оси y. График четной функции симметричен относительно оси y.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.