1 Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. В Ы С О Т А В Ы С О Т А Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, совпадает с катетом. Высота в тупоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, проходит во внешней области треугольника. В Ы С О Т А 11

А В С К М O Т Высоты тупоугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внешней области треугольника. Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С. Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника. O А В С Точка пересечения высот называется – ортоцентр.

Свойства площадей Свойства площадей 1 0. Равные многоугольники имеют равные площади Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Эти свойства помогут нам получить формулу для вычисления площади параллелограмма.

Площадь треугольника Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Докажем, что А СD ВH S ABC = S BCD

А В С H Построить высоты треугольника Р K

А В D H Составить формулы площади треугольника R E

А В С D Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. ab 12 S ABC = ab

А В С К М Т Составить формулы площади треугольника

Найти площадь треугольника. А В С H Блиц-опрос 2 5 АBC - треугольник

Найти площадь треугольника. А В С Блиц-опрос 4 5 АBC - треугольник

А В D S ABC = 12 см 2. Какую сторону треугольника можно найти? R 412 4

Найдите высоту АР. А В H Р 22 D 11 S ABD = 88 АBD – треугольник. 16

М N А В С Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. то их площади относятся как основания. H S MBN S ABC = MN AC =

F R А В С Следствие 2. Тренировочные задания. D S FBR S ABC = FR FR AC BD – общая высота треугольников

F R А В С Следствие 2. Тренировочные задания. D S CBR S CBF = CR CR CF S ABR S CBR = AR AR CR

А В С Тренировочные задания. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой. H S DBA S CBD = DA DA CD D BH – общая высота треугольников = 1

А С В Мочка М делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 3 : 7, считая от точки А. Сколько процентов составляет площадь треугольника АМС от площади треугольника АВС. H S AВС S АМC = АВ АВ АМ BH – общая высота треугольников = 30% М = *100% = *100% 10 3

А В С D О Докажите что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.12 S ABCD = AC BD S ABCD = d 1 d 2 12

А В С D О 12 1, ,5 5 см 2

М В Р К О В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей.+

М В Р К О Найдите площадь четырехугольника, если его диагонали взаимно перпендикулярны, а их длины равны 7 и 13.

Точка М лежит на основании АВ равнобедренного треугольника АВС. Найдите площадь этого треугольника, если длины его боковых сторон АС и АВ равны 12, а расстояния от точки М до этих сторон равны соответственно 2 и 5. А С В М Р 5 К

В С Докажем, что если треугольники имеют равную сторону, то их площади относятся как высоты. H S MAC S ABC = MN BH = М N A

А В Высоты треугольников АВС и КВС, опущенные на сторону ВС, относятся как 7 : 6. Найдите площадь треугольника АВС, если она на 15 больше площади треугольника КВС. H S КВC S ABC = КN КN КN КN АHАHАHАH К N С х+15 х Х Х + 15 = 6 7