a b Угол между векторами a b ab = Градусную меру этого угла обозначим буквой Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ. Угол между векторами и равен abОАВ

a d Найти углы между векторами.b 30 0 ab = c f ac = bc = df = dc = a b d f перпендикулярными Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 0.bc bd bf

АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Найдите угол между векторами BC, AС = BB 1, AC = B 1 C, AD 1 = C В 1 В, В 1 С = DА, B 1 D 1 = А1C1, A1B =А1C1, A1B =А1C1, A1B =А1C1, A1B = А 1 D 1, BC = AА1, C1C =AА1, C1C =AА1, C1C =AА1, C1C = B A D C1C1C1C1 D1D1D1D1 A1A1A1A1 B1B1B1B

Угол между векторами и равен. Найдите углы между векторами ВА, DС = ВА, СD = АB, DC = АВ СD C D BА O (C) (A) B D – –

Сумма векторов – вектор. Разность векторов – вектор. Произведение вектора на число – вектор. Скалярное произведение векторов – число (скаляр). Скаляр – лат. scale – лестница, шкала. Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. ab= a b cos( ) ab

Скалярное произведение в физике A = F MN cos F N M A = F MN N F MN точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними. AF M Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в

ab= a b cos 90 0 a b = 0 0 Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю.ab Обратно: если, то векторы и перпендикулярны. ab = 0= 0= 0= 0ab ab = 0= 0= 0= 0 ab Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. ab = 90 0

ab= a bcosa b острый. Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый.ab > 0> 0> 0> 0 > 0 ab < 90 0 ab

ab= a bcosa b тупой. Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой.ab < 0< 0< 0< 0 < 0 ab > 90 0 ab

ab = ab= a b cos 0 0 a b11 ab = 00= 00= 00= 00 Еслиab ab= a b cos180 0 a b ab = Еслиab = – ab

aa= a acosa aa = 00= 00= 00= 00 aa = = a 2 Скалярное произведение называется скалярным квадратом скалярным квадратом вектора и обозначаетсяaaa a 2a 2a 2a 2 Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a 2a 2a 2a 2= a 2

D1D1D1D АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Найдите скалярное произведение векторов C B A D C1C1C1C1 A1A1A1A1 B1B1B1B1 a a A 1 O 1 A 1 C 1 BO 1 C 1 B D 1 O 1 B 1 O 1 BA 1 BC 1 D 1 B AC AD B 1 C 1 AC C 1 A 1 O1O1O1O

Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что MN AD = 0 B C N A D M

Маленький тест ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ ! Проверка xOy На каком расстоянии от плоскости xOy находится точка А(2; -3; 5) I I I I M zy x I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O Oxy 2

5;5; ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка 4;4; На каком расстоянии от начала координат находится точка А(-3; 4; 0)А Oxy zy x I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O

2 ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ ! Найти координаты середины отрезка, если концы его имеют координаты и A(-3; 2;-4) B(1;-4; 2) C(-1;-1;-1) C ( ; ; ) (-4) C(-2; 1;-1) C(-2;-2;-2) Проверка

1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка Дан квадрат АВСD. Найдите угол между векторами и ; ; ПОДУМАЙ ! АС DA АВСD

Скалярное произведение координатных векторов и : 3 ВЕРНО! 2 1 ПОДУМАЙ ! Проверка равно нулю, т.к. угол между векторами прямойkj 1 – 1 0 x yz I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j k i O

1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка Скалярный квадрат вектора равен: 7 i7 i7 i7 i Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. ( 7i ) 2 = 7 i 2 = 7 2 = 49

2 ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ ! Записать координаты вектора n = – 8j + i n {-8; 1; 0} n {1;-8; 0} n {1; 0;-8}

3 ВЕРНО! 2 1 ПОДУМАЙ ! Проверка mn = –15, m = 5,m = 5,m = 5,m = 5, n = 6. Найдите угол между векторами и, еслиmn Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой

ПОДУМАЙ ! Проверка (3) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб, ребро которого равно 1. Найдите скалярное произведение векторов и. 4; 1. 2; ВЕРНО! АD 1 BC D1D1D1D1C B A D C1C1C1C1 A1A1A1A1 B1B1B1B1