Прежде, чем ввести еще одно действие – умножение вектора на число, обратимся к примеру. Представим себе, что один автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью, второй движется в том же направлении со скоростью, вдвое большей, а третий автомобиль движется им навстречу, т.е. в противоположном направлении, и величина его скорости такая же, как у второго автомобиля. ТАКСИ v 2v -2v Если мы изобразим скорость первого автомобиля вектором v, то естественно изобразить скорость второго автомобиля вектором, у которого направление такое же, как у вектора v, а длина в 2 раза больше, и обозначить этот вектор 2v. Скорость третьего автомобиля изобразиться вектором, противоположным вектору 2v, т.е. вектором -2v. Естественно считать, что вектор 2v получается умножением вектора v на число 2, а вектор -2v получается умножением вектора v на число -2. Этот пример показывает каким образом следует вести умножение вектора на число и что при умножении получается вектор.

Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем векторы и сонаправлены при и притивоположно направлены при. ak a b a k k>0 b k

Умножение вектора на число. a b2b 2bb b2b2= 2 a1 2 a1a 2 a1a 21=

Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. o a o = Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. o o k = Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны. ak aka a - 2 a - a 12 1 a 1 2

A BCDN MRESF HJKLZ Q VTYU Назовите вектор, который получится в результате умножения. I OPXG

XT = XT х – 43 – 0 СК = JO х A BCDN MRESF HJKLZ Q VTYU I OPXG JO = CK х XD = CK х NN = XD х ХТ = XD х не существует х не существует 1 TX = XT х

2 ВК = ОК х3 A C O K T B О – точка пересечения медиан треугольника.31 – КO = ВK х ОВ = КО х

х DO = KF –4 –4 A C 7 TB AC = TВ х 3 TВ = 7TВ = 7TВ = 7TВ = 7 AC = 3 O D KF 10 2,5 DO = 10 KF = 2,5 73 TB = AC х 37 KF = DO х 41 –

х D S LK SD = LK SDLK Длина вектора SD на 25% меньше длины вектора LK1,25 A C TB ТВ = АС х TBАС Длина вектора TB на 25% больше длины вектора АС -0,75

BC = DA 8 ВС ABCD – трапеция. А D 10 х –0,8 –0,8 DA = BC х – 810

– 3 8В С ABCD – параллелограмм. CS : SB = 5 : 3 А D BS = DA х – 8 3S х DA = BS

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами. k (l a) (kl)a = Сочетательный закон Первый распределительный закон Второй распределительный закон k (a + b) = ka + kb (k+l)a = ka + la Для любых, и любых чисел, справедливы равенства:abbkl1 2 3

B O a k = 2, l = 3. Рисунок иллюстрирует сочетательный закон. Представлен случай, когда k = 2, l = 3. k (l a) (kl)a = Сочетательный закон 1 B OA OВ = 2OA = 2(3 ) a aa a OВ = 6 a a a = (2 3) a aa a

B k = 3, l = 2. Рисунок иллюстрирует первый распределительный закон. Представлен случай, когда k = 3, l = 2. Oa Первый распределительный закон 2 Aka l al al al a OA = ka ; AB = la la (k+l)a = ka + la OB = (k+l)a = ka + la

Oa Второй распределительный закон 3 A k (a + b) = ka + kb Рисунок иллюстрирует второй распределительный закон. На рисунке, коэффициент подобия ОАВ ОА 1 В 1 k A1A1A1A1 B1B1B1B1Bb a+b OA = ka k(a+b) kb AB = OB = ka+kb OB = OA + AB = С другой стороны, Таким образом,k(a+b) ka+kb=

781 Пусть х = m + n, y = m – n Выразите через и векторыmn 2х – 2у 2х + у 21 –х – у 31

Задача Построить вектор С А В

Задача С А В

Задача Построить вектор. С А В = АВСD – параллелограмм. DCAAC

Построить вектор. С А В DACЗадача АВСD – параллелограмм.

B Точка С – середина отрезка АВ, а О – произвольная точка плоскости. Доказать, что Задача AO OА + АС OС = OВ + ВС OС = + 2 OС = ОА + ОВ + АС + ВС 0 ( ) 2 OС = ОА + ОВ : 2 OС = (ОА + ОВ) 12 C

2 NM = NB + NA + АС + ВM + CM 0 ( ) A NB + BM NM = + 2 NM = AC : 2 NM = AC 12 Задача Докажите теорему о средней линии треугольника. В С N M NA + AС + CM 0 ( ) NM = AC 12 NMAC

Теорема Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Дано: трапеция АВСD, MN- средняя линия Доказать:

2NM = NB + NA + BС + AD + CM +DM 0 ( ) ( ) Правиломногоугольника0 ( ) A NM = + : 2 ВС NM NA + AD + DM D NB + BС + СМ 2NM = ВC + AD NM = (BC+AD) 12 NM = BC+AD 12 NMBCAD; Доказать:

Задача АВСD – ромб. Е ВС, ВЕ : ЕС = 3 : 1, К – середина DC, АВ =, AD =. Выразите через векторы и векторы: С А Вab aD b a b E K AE AK KE

АВ - СВ = - ОА - РО = - ОА - РО = MN - RN = - KM + KM = - KM + KM = - KM + OM = АS - СS = - MN - LM = - MN - LM = RP - RP = - KZ + KZ = - KZ + KZ = - ED + KD = MK + КO + OP + PR = SK + КV + VP + PM =