А В С Какая запись является верной? 45 0 AВ > BC; AВ > BC AC = BC ; AC = BC

сонаправленные Назовите коллинеарные сонаправленные векторы противоположнонаправленные Назовите коллинеарные противоположнонаправленные векторыABCDN MRESF HJKLZ I OPXG Q VTYU равные Назовите равные векторы

Сложение векторов. Правило треугольника. Сложение векторов. Правило треугольника.a ab b a + b А В С АВ + ВС = АС a + 0 = a ! ! Для любого нулевого вектора справедливо равенство

В1В1 Докажем, что если при сложении векторов точку А заменить другой точкой А 1, то полученный вектор А 1 С 1 будет равен АС. Рассмотрим случай.a b Вba ba b a + А С b С1С1 А1А1 АВВ 1 А 1 – параллелограмм ВСС 1 В 1 – параллелограмм АСС 1 А 1 – параллелограмм

= OK АВ + ВС = Правило треугольника. АС АО + ОР = АР MN + NR = MR MK + KM = MM = 0 MK + OM = OM + MK = KE АS + SС = АС NM + ML = NL RP + PR = RR = 0 ZK + KZ = ZZ = 0 DE + KD = KD + DE = KD + DE =

Правило треугольника. АС = АВ + ВС OB + ВN ON = AR + RS AS = XK + KH XH = MA + AD MD = OF + FP OP = ON + NВ OB = RS + SA RA = KH + HX KX = AM + MD AD = FP + PO FO =

По правилу треугольника складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении треугольника и не получаетсяa b a + b a b b

a b b c f c + f

Законы сложения векторов Для любых векторов справедливы равенства: a, b, c a, b, c1 2 a + b = b + a a + b = b + a переместительный закон сочетательный закон (a + b) + c = a + (b + c) ! ! Теорема

a a b b a + b А В D C АС = АС = АВ + ВС АВ + ВС a = b + АС = АС = АD + DС АD + DС b = a + Докажем свойство Рассмотрим случай, когда векторы и не коллинеарны. ba 1

При доказательстве свойства 1 0 мы обосновали правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов. Чтобы применить правило параллелограмма, надо отложить векторы от одной точки, как стрелки часов.

Сложение векторов. Правило параллелограмма a b a+b a b

a a b b В D C (a + b)+c (a + b)+c Докажем свойство 2c c = (АВ + ВС) + CD = (АВ + ВС) + CD А = АС + CD = АС + CD = АD = АD АC АC a + (b+c) a + (b+c) = АВ + (ВС + CD) = АВ + (ВС + CD) = АB + BD = АB + BD = АD = АD BD BD

Сложение векторов. Сложение векторов. Правило многоугольника. Правило многоугольника. = АO АВ + ВС + СD + DO a c n m c m n a+c+m+n a

Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если А 1, А 2, …, А n – произвольные точки плоскости, то = А 1 A n А 1 А 2 + А 2 А 3 + … + А n-1 A n А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 А7А7 А1А1

! Если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору. a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 0 a1a1a1a1 a1a1a1a1 a2a2a2a2 a2a2a2a2 a3a3a3a3 a4a4a4a4 a5a5a5a5 a3a3a3a3 a4a4a4a4 a5a5a5a5

противоположным Вектор называется противоположным вектору, если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены. a1a1a1a1 b -b-b-b-b a a a1a1a1a1 -b-b-b-bb Вектор, противоположный вектору А В А В ВА Вектор ВА, противоположный АВ вектору АВ a + (-a) = 0 ВА = – АВ ВА = – АВ a a1a1a1a1 a = a 1 ; a a 1

a b 766 На рисунке изображены векторы ХУ. ХУ ХУ. Представьте вектор ХУ в виде суммы остальных или им противоположных векторов. a, b, c, d c d У Х – a – b + c + d = ХУ – –

Вычитание векторов. a a -b-b-b-b b a - b b a – = a +(– b)b)b)b) -b-b-b-b

Вычитание векторов. MF - SF = MF + FS = MS RO - RM = RO + MR = MR + RO MD - SD = MD + DS = MS - OS - ST = - OS - ST = SO + TS = TS + SO RO - AO = RO + OA = RA RO - RO = RO + OR = RR = 0 = TO = MO

768 Точки М и N – середины сторон АВ и АС ВМ, NC, MN, BN треугольника АВС. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN АМАN через векторы = АМ и = АNabС ВМ = a- NC = MN = b MA + AN - = a + b BN = BA + AN =-a + b -aВ АМN ab

( ) Найдите АВ + AD – DC – OD ABCD - прямоугольник А BC D АВ + AD – DC – OD = АС – DC – OD = АС + CD + DO = АО О3 4 5

АВ + ВС = АО + ОР = MN + NR = MK + KM = MK + OM = АS + SС = NM + ML = RP + PR = ZK + KZ = DE + KD = ON = AS = XH = MD = OP = OB = RA = KX = AD = FO =