Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Повторение C A В a 2 + b 2 = c 2 c b a bcbcbcbc acacacac h

C В A asinAbsinB == csinC a b c (1) (2) (3) Теорема синусов. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

(1)(2)(3) =

М O X MOsinXMXsinO == OXsinC

C D E CDsinEECsinD == DEsinC

ABsinCACsinB = C A B ? 45 0 Найти АВ

2 ABsinCACsinB = Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. C A B ? Найти угол А

ABsinCBCsinA = Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. C A B 60 0 ?

ABsinOBOsinA = ABСD – параллелограмм. Найти ВD. D A B C O

120 0 ACsinDADsinC = ABСD – параллелограмм. Найти AC. D A B C ?

BCsinAABsinC = ABСD – параллелограмм. Найти BC. D A B C ?

a2 =a2 =a2 =a2 = B a A C c b Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон b 2 + c 2 – 2bc cosA Теорема косинусов. Теорема косинусов.

d =d =d =d = (x 2 –x 1 ) 2 +(y 2 –y 1 ) 2 d2 =d2 =d2 =d2 = (cos 2 A + sin 2 A) + c 2 – 2bc cosA yAxb B C x = b cosA y = b sinA c a (c; 0) (b cosA; b sinA) BC 2 =(bcosA – c) 2 – 2bc cosA + b 2 sin 2 A = b 2 cos 2 A + c 2 1 = b 2 + (bsinA – 0) 2 = x y

d =d =d =d = (x 2 –x 1 ) 2 +(y 2 –y 1 ) 2 d2 =d2 =d2 =d2 = (cos 2 A + sin 2 A) + c 2 – 2bc cosA yAxb B C x = b cosA y = b sinA * x = OA cosa * y = OA sina c a (c; 0) (b cosA; b sinA) BC 2 =(bcosA – c) 2 – 2bc cosA + b 2 sin 2 A = b 2 cos 2 A + c 2 1 = b 2 + (bsinA – 0) 2 =

AB 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон BC 2 + CA 2 cos Теорема косинусов. Теорема косинусов. AC B – 2 BC CA 90 0 C 0 AB 2 = BC 2 + CA 2 Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.

XR 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон RO 2 + XO 2 cosO O X R – 2 RO XO RO 2 = RX 2 + XO 2 cosX – 2 RX XO XO 2 = RX 2 + RO 2 cosR – 2 RX RO

Запишите для данного треугольника теорему синусов и теорему косинусов для каждой стороны. F DС

На практике удобно сравнивать квадрат большей стороны и сумму квадратов двух других.

Определите вид треугольника со сторонами 5, 6 и 7 см. > Определите вид треугольника со сторонами 2, 3 и 4 см. >

4 С А В ? Найти угол В =

44 5 AB 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон BC 2 + AC 2 cosC С А В – 2 BC AC5 AB 2 = 41 – AB = 41 – ? 4 Найти АВ

ВС 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон АВ 2 + AC 2 cos С А В – 2 АВ AC ВС 2 = 72 – 72 (– ) 1 2 ВС 2 = ВС = 108? 6 А ВС = Найти ВС

ВD 2 = АВ 2 + AD 2 cos– 2 АВ AD ВD 2 = 34 – ВD 2 = ВD = 19? А D A B C ABСD – параллелограмм. Найти ВD

AC 2 = АD 2 + CD 2 cos С А В – 2 АD CD 2 2 ? D D ABСD – ромб. Найти AC AС 2 = 18 – 18 (– ) 2 2 AС 2 = AC = 9(2 + ) 22 AC =