a b Угол между векторами a b ab = Градусную меру этого угла обозначим буквой Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ. Угол между векторами и равен abОАВ

Угол между векторами a b a b a b Градусная мера угла не зависит от выбора точки О, от которой откладывают векторы и ab Обоснуем это с помощью рисунка. О1О1О1О1 О2О2О2О2

a d Найти углы между векторами.b 30 0 ab = c f ac = bc = df = dc = a b d f перпендикулярными Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 0.bc bd bf

Диагонали квадрата пересекаются в точке О. Найдите углы между векторами АВ, АС = А В С D О АВ, DА = OА, OB = АO, OC = OА, OС = АC, BD = АD, DB =

Диагонали ромба пересекаются в точке О, диагональ ВD равна стороне ромба. Найдите углы между векторами АВ, АD = А В С D О АВ, DА = BА, AD = OC, OD = АB, DC = АB, CD = 180 0

Сумма векторов – вектор. Разность векторов – вектор. Произведение вектора на число – вектор. Скалярное произведение векторов – число. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. ab= a b cos( ) ab

ab= a b cos 90 0 a b = 0 0 Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю.ab Обратно: если, то векторы и перпендикулярны. ab = 0= 0= 0= 0ab ab = 0= 0= 0= 0 ab Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. ab = 90 0

ab= a bcosa b острый. Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый.ab > 0> 0> 0> 0 > 0 ab < 90 0 ab

ab= a bcosa b тупой. Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой.ab < 0< 0< 0< 0 < 0 ab > 90 0 ab

ab = ab= a b cos 0 0 a b11 ab = 00= 00= 00= 00 Еслиab ab= a b cos180 0 a b ab = Еслиab = – ab

aa= a acosa aa = 00= 00= 00= 00 aa = = a 2 Скалярное произведение называется скалярным квадратом скалярным квадратом вектора и обозначаетсяaaa a 2a 2a 2a 2 Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a 2a 2a 2a 2= a 2

b a c ab < ac cb = 0 > 0 aa n an < 0 cn = 0 bn < 0 Определите знак скалярного произведения.

Скалярное произведение в физике A = F MN cos F N M A = F MN N F MN точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними. AF M Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в

А В С Найти скалярное произведение векторов MN MB = MN MB MN, MB = cos M N = cos 60 0 = = 22 MN CA = MN CA MN, CA = cos 2 4 cos = = 8 (-1) = –8 NM CB = NM CB NM, CB = cos 2 4 cos 60 0 = = =

А В С Найти скалярное произведение векторов AC CB = AC CB AC, CB = cos D 4 – cos = (– ) = 16 (– cos 60 0 ) = = CB CB = CB 2 = CB 2 = CB 2 = =16 AC BD = 0 AC BD т.к. CB BC = – BC 2 = – 4 2 = –16 – BC BC =

Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание С А В АС, СВ = АВ, СА = АВ, СВ = CВ CА = 0 CВ СА т.к. АВ ВА = – BА 2 = – 6 2 = –36 – BА BА = 6 … … … … …

Маленький тест ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ ! Проверка 9 С А В ВС ВА = ВС ВА ВС ВА ВС, ВА = cos cos 60 0 = 60 0

Скалярное произведение векторов и : АС ВА отрицательно; положительно. 1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка (2)С А В равно нулю; отрицательно, т.к. угол между векторами тупой

Скалярное произведение координатных векторов и : 3 ВЕРНО! 2 1 ПОДУМАЙ ! Проверка равно нулю, т.к. угол между векторами прямойij О 1 xy i j 1 – 1 0

1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка Скалярный квадрат вектора равен:i 1 – 1 0 Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. i 2 = i 2 = 1 2 = 1

1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка (4) ab = 00= 00= 00= 00 еслиab Еслиab = 12, a = 3,a = 3,a = 3,a = 3, b = 4, то векторы и :ab сонаправлены; противоположно направлены. перпендикулярны; 34 ПОДУМАЙ ! 12 ab = a bcos ab cos = 1 ab 12 = 3 4 cos ab

ПОДУМАЙ ! Проверка (4) xy = еслиxy Еслиxy = –20,= –20,= –20,= –20, x = 4,x = 4,x = 4,x = 4, y = 5, то векторы и :xy сонаправлены; противоположно направлены. перпендикулярны; 45–20 xy = x ycos xy cos = xy –20 = 4 5 cos xy ВЕРНО! –1–1–1–1

3 2 1 ПОДУМАЙ ! Проверка mn = –15, m = 5,m = 5,m = 5,m = 5, n = 6. Найдите угол между векторами и, еслиmn Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой

ПОДУМАЙ ! Проверка (3) ab = 60 0 Еслиab = 12, a = 3, b = 8, то угол между векторами и равен:ab 3812 ab = a bcos ab cos = ab 12 = 3 8 cos 12 = 3 8 cos ab ВЕРНО!