Числа и системы счисления

Понятие числа является фундаментальным как для математики, так и для информатики. Цифры – это символы, участвующие в записи числа и составляющие некоторый алфавит. Система счисления – это способ записи чисел с помощью цифр. Системы счисления Непозиционные Позиционные

Непозиционная система счисления В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее положения в числе. Римская система счисления – непозиционная I V X L C D M IV = 5-1 = 4 если слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются. VI = 5+1 = 6 если слева записана большая цифра, а справа меньшая, то их значения складываются.

CCXXXII ( = 232) Прочитайте число: MCMXCVII На Руси вплоть до XVIII века использовалась непозиционная система славянских цифр. Буквы кириллицы имели цифровое значение, если над ними ставился специальный знак ˜ титло. ˜ - 1 ˜ - 4 ˜ Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем неудобны при умножении и делении.

Позиционные системы счисления Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр! В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Позиционные системы счисления. В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. 333 – одна и та же цифра «3» в зависимости от позиции в записи обозначает разные величины.

Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. Например: 333 = 3* * = 3* * *100 +7*10 + 8

Очевидно, что число «десять» - не единственное возможное основание позиционной системы. Известный русский математик Н.Н. Лузин так выразился по этому поводу: «Преимущества десятичной системы на математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было на десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой» За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число больше 1. Например, вавилонская система имела основание 60. Следы этой системы сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час = 60 мин, 1 мин = 60с)

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n10 используют n первых арабских цифр, а при n>10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. ОснованиеСистемаАлфавит n=2двоичная0 1 n=3троичная0 1 2 n=8восьмеричная n=16шестнадцатеричная A B C D E F

Основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу.

Мы настолько привыкли к десятичному счету, что число в любой другой системе мало что нам говорит о соответствующем ему количестве. Например, что за величина Чтобы понять «много это или мало», нужно перевести его в десятичную систему. Сделать это довольно просто. Число можно представить в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания системы (в нашем случае – тройки).