Выполнили ученики 9 а класса Халитов Руслан Плющев Никита длина окружности и площадь круга

Правильный многоугольник Определение: правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы и стороны равны. Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник и квадрат. Выведем формулу для вычисления угла α n правильного n угольника. Α n =(n-2*180)/n.

Окружность описанная около правильного многоугольника. Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. а1а1 а2а2 а3а3 аnаn о а4а4 а5а5

Доказательство Пусть А 1 А 2 А 3 …А n – правильный многоугольник, О – точка пересечения биссектрис углов А 1 и А 2. Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА 1 =ОА 2 …= ОА n. Так как А 1 = А 2, то 1= 3, поэтому треугольник А 1 А 2 О равнобедренный, и, следовательно, ОА 2 =ОА 1. Треугольники А 1 А 2 О и А 3 А 2 О равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, ОА 3 =ОА 1. Итак, О А 1 = О А 2 = О А 3 …= ОА n, т.е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОА1 является описанной около многоугольника.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Следствие 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Следствие 2. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Построение правильных многоугольников. Задача. Пусть PQ- данный отрезок. Построим окружность радиуса PQ и отметим на ней произвольную точку А 1. Затем не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А 2, А 3, А 4, А 5, А 6 так, чтобы выполнились равенства А 1 А 2 = А 2 А 3 = А 3 А 4 = А 4 А 5 = А 5 А 6. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6. А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 PQ

Рассмотренный пример показывает, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, однако, что не все правильные допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Любопытно, что с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник.