Длина окружности и площадь круга

Чтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Если мы разрежем нить в какой-нибудь точке А и распрямим ее, то получим отрезок АА 1, длина которого и есть длина окружности.

Выведем формулу выражающую длину окружности через ее радиус. Пусть C и С – длины окружности радиусов R и R. Впишем в каждую из них правильный n- угольник и обозначим через P и P их периметры, а через a n и a n их стороны.

Следовательно: Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n.Так как, при,то придел отношения равен. С другой стороны в силу равенства этот придел равен. Таким образом,.

Из этого равенства следует, что, Т.е. отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π. Из равенства получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R:

Выведем теперь формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой α. Так как длина всей окружности равна 2 πR, то длина дуги в 1˚ равна Поэтому длина l выражается формулой.

Кругом называется плоскость ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром O содержит точку O и все точки плоскости, находящиеся от точки O на расстоянии, не большем R.

Выведем формулу для вычесления площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный n-угольник АА…А n, вписанный в окружность ограничивающую круг.

Очевидно площадь S данного больше площади S n многоугольника АА…А n, так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге. С другой стороны, площадь S n круга, вписанного в многоугольник, меньше S n, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике. Итак,

r n – радиус вписанной в многоугольнике окружности. При, поэтому Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремится» к описанной окружности, поэтому при. Отсюда и из неравенств следует, что при. По формуле, где -периметр многоугольника АА…А n. Учитывая, что при, получаем

Итак, для вычесления площади круга радиуса R мы получили формулу

Презентацию выполняли: Гариевская Дарья, Рахвалова Александра, Лобов Максим, Колотовкина Мария, Григорьев Иван.