Метод перевала в физике В.П. Крайнов, Кафедра теоретической физики МФТИ, 28 февраля 2007 г.

1. Сущность приближения Рассмотрим интеграл Приближение метода перевала в простейшей форме применимо, если функция exp(f(t)) имеет резкий максимум при некотором значении t = t 0 (a < t 0 < b)

В окрестности этого максимума предполагается, что функция g(t) меняется медленно по сравнению с f(t). Тогда вблизи точки максимума t 0, где функцию f(x) можно разложить в ряд Тейлора до второго члена

Математическое выражение предположения о резкости максимума функции f(t) имеет вид или f(t 0 ) >>1 Исходим из известного выражения для интеграла Пуассона

Тогда, распространяя пределы интегрирования до бесконечности в обе стороны, получим искомое приближенное выражение для искомого интеграла Вклад из-за увеличения интервала интегрирования экспоненциально мал по сравнению с этим выражением

2. Пример гамма-функции Гамма-функция определяется интегралом При целых значениях x она равна x! Мы рассмотрим ее при больших x >> 1.

Пример: подынтегральная функция exp(-t + xlnt) при x = 10 Точка перевала находится из условия

Голубая линия – подынтегральное выражение в методе перевала; площади под обеими кривыми почти одинаковы

Формула Стирлинга: Как найти следующую поправку к этой формуле? Запишем ее с поправкой в виде

Приравнивая оба выражения друг другу, находим: Раскладывая в ряд Тейлора логарифм получим

При больших значениях x >> 1 можно заменить В результате получим дифференциальное уравнение Итак, улучшаем формулу Стирлинга, учитывая первую поправку

С большой точностью эта формула работает и для небольших значений x: В частности, при x = 2 вместо точного значения 2! = 2 она дает значение, равное А при x = 1 вместо точного значения 1! = 1 она дает значение, равное

3. Метод стационарной фазы В случае быстро осциллирующих подынтегральных выражений максимальный вклад в интеграл определяется областью, где осцилляции слабее всего. Эта область может быть как на вещественной оси (пример 1), так и в комплексной плоскости переменной интегрирования (пример 2).

Пример 1: распространение звука в диэлектрике при больших временах Звуковой волновой пакет вдоль оси z Закон дисперсии звука с волновым числом k и частотой Условие применимости приближения: 0 t >> 1.

Интеграл Френеля

Точка стационарной фазы лежит на вещественной оси: Решение (без предэкспоненты) На заднем фронте волны (z

Мы увидим, что в этом случае подынтегральное выражение слабее всего осциллирует в комплекcной области переменной t, куда надо смещать контур интегрирования Пример 2: функция Эйри при x >> 1

на вещественной оси t, x = 4.

Представляя косинус в виде суммы двух экспонент и заменяя во втором интеграле t -t, рассмотрим интеграл Точка перевала имеет вид: Тогда подынтегральная функция вблизи точки перевала записывается в виде:

Вычисляя интеграл Пуассона, получим При этом контур интегрирования после прохождения точки перевала в горизонтальном направлении затем поворачивается в верхний сектор, где величина it 3 отрицательна, чтобы обеспечить сходимость интеграла, т.е. с аргументом t, равным /6.

t Ret Imt 0 Соответственно аргумент комплексной переменной t равен 5 /6 при

x = 4, t 0 = 2i. Вещественная часть подынтегральной функции для функции Эйри в плоскости комплексной переменной t ImtRet