Фракталы и аттракторы в физики и не только Под микроскопом он открыл, что на блохе Живёт блоху кусающая блошка; На блошке той блошинка-крошка, В блошинку же вонзает зуб сердито Блошиночка, и так ad infinitum. Д.Свифт (не знаю чей перевод) Натуралистами открыты У паразитов паразиты, И произвел переполох Тот факт, что блохи есть у блох. И обнаружил микроскоп, Что на клопе бывает клоп, Питающийся паразитом, На нем другой, ad infinitum Д.Свифт (перевод Маршака) М.Г.Иванов (кафедра теор.физики МФТИ)

Рисование: Цвет = a(x 2 +y 2 ) mod (число цветов)

Аттрактор Лоренца

Предельная траектория в 3-мерном пространстве (спроецирована на плоскость рисунка) z(0) = y(0) = z(0) = 1; x(n+1) = x(n) + a*[-x(n) + y(n)]*dt y(n+1) = y(n) + [b*x(n) - y(n) - z(n)*x(n)]*dt z(n+1) = z(n) + [-c*z(n) + x(n)*y(n)]*dt Параметры: dt, a, b и c.

Меры Минковского и Хаусдорфа Мера клетки размера R = R D Мера Минковского – предел при R->0 (все клетки одного размера) [Аналог меры Жордана!!!] Мера Хаусдорфа – нижняя грань меры произвольного набора клеток, покрывающего множество. [Аналог меры Лебега!!!]

Размерности Минковского и Хаусдорфа Если при D > D 0 мера = 0, при D < D 0 мера = бесконечности, то D 0 – размерность множества. («чья» размерность зависит от того, «чья» мера)

Пример Множество, для которого размерности Минковского и Хаусдорфа не совпадают A={0,1,1/2,1/3,1/4,1/5,…} dim H A=0 1/(k-1)-1/k=1/[k(k-1)]< Точки 1,1/2,1/3,…,1/(k-1) покрываются (k- 1) шаром радиуса, Точки 1/k,1/(k+1),… требуют 1/(2k ) шаров. Т.е. число шаров ведёт себя как -1/2. dim M A=1/2

Решение уравнений методом Ньютона x n+1 =x n -f(x n )/f(x n ) Далее f(x)=x 3 -1

Множество Мандельброта. Z n+1 =Z n 2 +Z 0 Множество (чёрное) – точки не убегающие на бесконечность Цвет – потенциал.