Формулы сложения

Повторение M 1 (cos α; sin α) M 2 (cos(-α); sin(-α)) sin(-α) = ? cos(-α) = ? tg(-α) = ? ctg(-α) = ? sin 2 (α) + cos 2 (α) = ? sin(-α) = -sin α cos(-α) = cos α tg(-α) = sin(-α)/cos(-α) = = (-sin α)/cos α = -tg α ctg(-α) = - ctg α sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1 x y P (1;0) 0 α - α M2M2 M1M1 cos α sin(- α) sin α

Формулы сложения Формулами сложения называют формулы, выражающие cos(α ± β) и sin(α ± β) через косинусы и синусы углов α и β. cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Теорема Для любых α и β справедливо равен- ство cos(α + β) = cos α cos β – - sin α sin β По определению: M α (cos α; sin α) M -β (cos(-β); sin(-β)) M α+β (cos(α+β); sin(α+β))

Имеем: M0 (1; 0) Mα (cos α; sin α) M-β (cos(-β); sin(-β)) Mα+β (cos(α+β); sin(α+β)) (M 0 Mα+β) 2 = (M -β Mα) 2 (1 - cos(α+β)) 2 +(sin(α+β)) 2 = (cos(-β) - cos α) (sin(-β) - sin α) cos(α+β) + cos 2 (α+β) + sin 2 (α+β) = cos 2 β - - 2cos β cos α + cos 2 α + sin 2 β + 2sin β sin α + sin 2 α 2 - 2cos(α+β) = 2 - 2cos α cos β + 2sin α sin β cos(α+β) = cos α cos β - sin α sin β Теорема доказана.

Следствие 1 cos(α - β) = ? cos(α - β) = cos(α + (-β)) = cos α cos(-β) - sin α sin(-β)= = cos α cos β + sin α sin β cos(π/2 – α) = sin α sin(π/2 – α) = cos α cos(π/2 – α) = cos(π/2) cos α + sin(π/2) sin α = sin α т.е. cos(π/2 – α) = sin α При α = π/2 – β имеем: cos(π/2 – α) = cos(π/2 – π/2 + β) = cos β = sin α = sin(π/2 – β) т.е. sin(π/2 – β) = cos β

Следствие 1 sin(α + β) = cos (π/2 - (α + β)) = cos((π/2 - α) - β) = = cos(π/2 - α) cos β + sin(π/2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β sin(α - β) = sin(α + (-β))= sin α cos(-β) + cos α sin(- β)= = sin α cos β - cos α sin β Таким образом, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Следствие 2 Можно вывести аналогичные формулы для tg(α ± β) и ctg(α ± β). tg(α ± β) = sin(α ± β) / cos(α ± β) = =(sin α cos β±cos α sin β)/(cos α cos β sin α sin β)= = (tg α ± tg β) / (1 tg α tg β) Аналогично ctg(α ± β) = (ctg α ctg β 1) / (ctg β ± ctg α)

В классе: 481(1,3) 482(1,3) 483(1)

Дома: П (2,4) 482(2,4)