Работу выполнила: ученица 9 класса «В» МОУ СОШ 1 Казьмина Марина. Учитель: Яблочкина Т.И.

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС. О – точка пересечения биссектрисы ВЕ и медианы АD, то прямоугольные треугольники АВО и DВО равны. Поэтому АО=ОD=2 и АВ=ВD, так что ВС=2АВ.

Точка О начало прямоугольной системы координат единица масштаба А(-2; 0), В(0; b), С(4; -b) и D(2; 0) Уравнение прямой АС: = E(0;у) у= - b ВЕ= b BE=4 b=3 A(-2; 0), В(0; 3), С(4; -3) АВ=, ВС=2, АС=3

Пусть ВА=а, ВС=с. Векторы ВЕ и АD выразим через а и с. ВС=2BD, то СЕ=2АЕ(по свойству биссектрисы треугольника). Пользуясь формулой деления отрезка в данном отношении, получим: ВЕ= АD= c-a Пусть |a|=a, тогда |c|=2a. Вычислив скалярные квадраты векторов ВЕ и AD, получим уравнения: 2a 2 +a*c=36; 2a 2 -a*c=16. a 2 =13 и a*c=10. Значит, АВ=, ВС=2. Найдем сторону АС по теореме косинусов: AC 2 =5a 2 -2a*c. Подставив вместо a 2 и а*с Найденные выше значения, получим АС=3.

Медиану AD и биссектрису ВЕ треугольника АВС выразим через длины а,b,с сторон треугольника по формулам:, ВЕ 2 =ас – а 1 с 1. а 1 =СЕ и с 1 =АЕ. Пусть АВ=х, АЕ=у, тогда ВС=2х и СЕ=2у. Получим систему уравнений: Отсюда x 2 =13, у 2 =5. Значит, АВ= и АС=3

Обозначим АВ=х, угол АВС=2а. По теореме косинусов из треугольников АВЕ и ВСЕ находим: АЕ 2 =х х cos a CE 2 =4x x cos a СЕ=2АЕ или CE 2 =4AE 2 x cos a=3 x cos a=ВО ВО=3 ОЕ=1 Остается, пользуясь теоремой Пифагора, вычислим стороны треугольника АВС.

Так как АО=ОD=2, ВЕ=4 и АD перпендикулярно ВЕ, то площадь каждого из треугольников ВАЕ и ВDE равна 4. Площадь треугольника СDE также равна 4, так как медиана ED делит треугольник ВСЕ на два равных треугольника. Значит площадь треугольника АВС равна 12. Поскольку AD – медиана треугольника АВС, то площадь треугольника ABD равна 6. По формуле площади треугольника АО*ВО=6. Но АО=2, значит, ВО=3. Стороны треугольника АВС найдем по теореме Пифагора.

Точки А и D симметричны относительно биссектрисы ВЕ. Построим еще точку, симметричную точке С относительно прямой ВЕ. Для этого продолжим отрезок DE до пересечения с прямой АВ и обозначим через F точку пересечения прямых АВ и DЕ. Получим равнобедренный треугольник ВСF; из равенства треугольников ВЕF и ВЕС следует, что ВF=ВС. Продолжим еще биссектрису ВЕ до пересечения с СF в точке Н. Тогда ВН – биссектриса треугольника ВСF, а следовательно, и его медиана. Таким образом, Е – точка пересечения медиан треугольника ВСF, и поэтому ЕН=0,5 ВЕ=2, а ВН=6. Средняя линия АD треугольника ВСF делит медиану ВН пополам, поэтому ВО=3. Далее поступаем так же, как при решении задачи другими способами.

Проведем среднюю линию DK треугольника ВСЕ. Так как DK||ВЕ и АО=ОD, то ОЕ – средняя линия треугольника АDK. Следовательно, ОЕ= DK и DK= ВЕ, т.е. ОЕ= ВЕ. Так как ВЕ=4, то ОЕ=1 и ВО=3. Отношение не зависит от длин отрезков ВЕ и АD. Найти это отношение можно также, используя лишь тот факт, что АD – медиана треугольника АВС и АО=ОВ, причем без всяких вспомогательных построений.

Секущая ВЕ пересекает стороны треугольника АСD в точках Е и О. По теореме Менелая из треугольника АСD имеем: * * =1. СВ/ВD=2 и DО=ОА, то АЕ= ЕС. Применив теорему Менелая к треугольнику ВСЕ и секущей АD, получим: * * =1 ЕА/АС=1/3 и СD=DВ. Следовательно, ВО/ОЕ=3.

Спасибо за внимание