Дифракция Френеля. Лекция 13 Зима 2011 Лектор Чернышев А.П.

Еще раз о принципе Гюйгенса-Френеля Э – экран, Р 0 – точечный монохроматический источник излучения

Используем векторную диаграмму:

Здесь E m – результирующая амплитуда:

Зоны Френеля Нахождение амплитуды результирующего колебания получается простым алгебраическим или геометрическим суммированием.

Непосредственно из рисунка видно, что расстояние b m от внешнего края m-ой зоны до точки P равно

Из рисунка видно, что

Согласно теореме Пифагора Преобразовав как разность квадратов, получим

После простых алгебраических выкладок получим для радиуса внешней границы m-ой зоны выражение

Зависимость амплитуды А m от номера зоны m Площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние b m от зоны до точки P медленно растет с номером зоны. Угол φ между нормалью к элементам зоны и направлением на точку P также растет с m. Это приводит к тому, что амплитуда колебания A m, возбуждаемая в точке P m- ной зоной, монотонно убывает с ростом m.

Таким образом, A 1 > A 2 > A 3 >…> A m-1 > A m > A m+1 >… Амплитуда А результирующего колебания в точке Р, с учетом фазы колебаний, может быть представлена в виде Запишем выражение (3) в виде (все зоны открыты):

Разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны, меньшие зон Френеля. Представим амплитуду в виде векторной диаграммы

Первые две зоны

Первые три зоны

Открыты все зоны Френеля

Зонная пластинка Зонная пластинка дает увеличение амплитуды в два раза, а интенсивности в четыре.

Дифракция на круглом отверстии Из уравнения (2) следует, что количество открытых зон равно

В соответствии с формулой (3) амплитуда в точке Р будет равна А=А 1 А 2 + А 3 А ±А m (6) Представим (6) в виде (4), тогда получим Два соотношения можно объединить в одно (плюс – для нечетных m, минус – для четных):

Дифракция от круглого диска Пусть диск закрывает первые m зон Френеля.

Амплитуда в точке Р будет равна Выражения, стоящие в скобках, можно положить равными нулю, следовательно, A = A m+1 /2 (9)

Дифракция рентгеновских лучей Рентгеновское излучение имеет длину волны λ от до 10 8 м. Для наблюдения дифракции необходимо, чтобы d было больше λ, поскольку d sinα = kλ. Это условие выполняется для кристаллических решеток.

Рассмотрим действие одной цепочки атомов, параллельной оси x. Каждый атом является источником вторичных волн. К соседним источникам падающая волна приходит с разностью фаз d 1 – период структуры вдоль оси x.

Возникает дополнительная разность хода

Колебания от отдельных структурных элементов будут усиливаться для тех направлений, для которых Выполняются соотношения Лауэ:

Углы α, β и γ не являются независимыми. Например, в прямоугольной системе координат они связаны соотношением cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ =1 (11) Система, состоящая из четырех уравнений (10) и (11) может быть разрешена только для определенных значений длины волны λ при фиксированных значениях α 0, β 0 и γ 0. Наоборот, при фиксированном значении λ (монохроматическое излучение) систему можно сделать совместной варьируя значения α 0, β 0 и γ 0, т.е. поворачивая пространственную структуру относительно направления падающего пучка.

Формула Вульфа - Брэгга

Разность хода двух волн, отразившихся от соседних слоев, равна 2dsinθ, где d – период идентичности кристалла в направлении, перпендикулярном к рассматриваемым слоям, θ – угол, дополнительный к углу падения и называемый углом скольжения падающих лучей. Направления, в которых получаются дифракционные максимумы, определяются условием (формула Брэгга – Вульфа)

Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов находит два основных применения Рентгеновская спектроскопия и рентгеноструктурный анализ. Метод Лауэ: «белый» рентгеновский пучок направляется на монокристалл.

Метод Дебая - Шерера Используется монохроматическое рентгеновское излучение и поликристаллические образцы. Исследуемое вещество измельчается в порошок, из которого рессуется образец в виде проволочки.

Разрешающая сила объектива Пусть имеется круглое отверстие радиуса b, на которое падает плоская волна. Для расчета количества открытых зон используем формулу (5). Чтобы ее использовать, примем, что a =, r 0 = b и b = l. В итоге получается

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера

Из расчета следует, что (см. рисунок)

Обозначим через δφ наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще разрешаются оптическим прибором

Величина, обратная δφ, называется разрешающей силой прибора Найдем разрешающую силу объектива Поскольку то