Дифракция света Лекция 12 Зима 2011 Лектор Чернышев А.П.

Многолучевая интерференция Пусть в данную точку приходят N лучей одинаковой интенсивности, причем фаза каждого следующего луча сдвинута относительно фазы предыдущего на одну и ту же величину δ:

Результирующее колебание определится формулой Полученное выражение является геометрической прогрессией:

Где Квадрат амплитуды результирующего колебания имеет вид комплексная амплитуда

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды К – коэффициент пропорциональности. При значениях выражение (11) становится неопределенным.

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя Получим Таким образом, при δ=2πm

Места, в которых наблюдается интенсивность, определяемая соотношением (14), называются главными максимумами

Их положение определяется условием (12). Число m называется порядком главного максимума. Из выражения (12) следует, что в каждом промежутке между двумя главными максимумами имеется N1 минимум интенсивности.

Дифракция Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими оптическими неоднородностями и связанных с отклонением от законов геометрической оптики. Различают два вида дифракции: дифракцию в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера). В противном случае говорят о дифракции Френеля.

Распределение интенсивности света при дифракции на щели

Принцип Гюйгенса – Френеля Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн: каждый элемент волновой поверхности S служит источником вторичной сферической волны

Амплитуда этой волны в точке P оопределяется выражением ωt+α 0 – фаза колебания в месте расположения волновой поверхности S. Результирующее колебание в точке P: Коэффициент К зависит от угла. При φ = π/2 он равен нулю.

Дифракция Фраунгофера от щели Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская волна.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на элементарные зоны ширины dx. Для небольших углов можно считать коэффициент К постоянным. Тогда амплитуда колебания будет зависеть только от ширины зоны: dA=Cdx. Разность фаз

Если принять за нулевую отметку середину щели, то начальная фаза колебаний будет равна После подстановки получим

Теперь проинтегрируем Введем обозначение

В результате получим

Комплексная амплитуда имеет вид Здесь использована формула Эйлера. При значениях φ, удовлетворяющих условию амплитуда обращается в ноль.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды Следовательно, где I 0 – интенсивность в середине дифракционной картины.

Определим угловую ширину центрального максимума Из рисунка видно, что В случае, если b >> λ, имеем

Какой вид дифракции имеет место? Найдем разность хода лучей от краев щели до точки P:

Применим теорему косинусов После несложных преобразований получим Если лучи, идущие от щели в точку P почти параллельны, тогда

Уравнение (19) в этом приближении можно переписать в виде В пределе при

Если то это дифракция Фраунгофера. При это дифракция Френеля.

Из соотношения (20) следует, что Добавляя условия (21) и (22), получим дифракция Фраунгофера дифракция Френеля геометрическая оптика

Дифракционная решетка Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние щелей.

Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом решетки. Если колебания, приходящие в точку P от разных щелей, некогерентные, то картина такая же, как от одной щели I φ, только интенсивность в N раз выше: Предположим, однако, что радиус когерентности намного превышает длину дифракционной решетки. Тогда колебания от всех шелей будут когерентны относительно друг друга.

Результирующее колебание представляет собой сумму N колебаний с одинаковой амплитудой A φ, сдвинутых относительно друг друга по фазе на одну и ту же величину δ.

Согласно формуле (11) имеем: Из рисунка видно, что Δ = dsinφ. Поэтому разность фаз равна где λ – длина волны в данной среде.

Подставим в формулу (23) соотношения (17) и (24) I 0 – интенсивность, создаваемая одной щелью против центра линзы. Первый множитель в (25) обрщается в нуль в точках, для которых

В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю. Второй множитель в (25) принимает значение N 2 в точках, удовлетворяющих условию Это условие определяет положение главных максимумов. Число m дает порядок главного максимума.

Кроме минимумов, определямых условием (26), между соседними главными максимумами имеется N – 1 добавочных минимума. Они обусловлены интерференцией световых волн от разных щелей. Дифракция

Количество главных максимумов определяется из условия: |sinφ| 1 Поэтому из формулы (27) следует

Ширина центрального максимума Положение ближайших к нему дополнительных минимумов определяется условием dsinφ = ±λ/N: Nd это ширина решетки, поэтому угловая ширина максимума обратно пропорциональна ширине решетки.

Дифракция на двух и пяти щелях

Спектры белого света

Основные характеристики спектрального прибора Угловая дисперсия Угловая дисперсия дифракционной решетки: Отсюда

Линейная дисперсия δl – линейное расстояние на экране между спектральными линиями, различающимися по длине волны на δλ. D лин =δl/δλ D лин =f D Для дифракционной решетки: D лин =f m/d.

Разрешающая сила Разрешающей силой спектрального прибора называется безразмерная величина

Положение середины m-ого максимума для длины волны λ+δλ определяется условием dsinφ max = m (λ+δλ). Края m-ого максимума для длины волны λ расположены под углами, удовлетворяющими соотношениям Середина максимума для длины волны λ+δλ совпадает с краем максимума для длины волны λ, если

Отсюда имеем mδλ=λ/N Разрешив это соотношение относительно λ/δλ получим Таким образом, разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра m и числу щелей N.