Когерентность. Интерференция в тонких пленках. Лекция 11 Осень-зима 2011 Лектор Чернышев А.П.

Когерентность Когерентностью называют согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Различают временную и пространственную когерентность. Всякая световая волна образуется наложением волн всевозможных частот (длин волн), заключенных в более или менее конечном интервале частот Δω (Δλ). Кроме того, амплитуда и фаза претерпевают с течением времени случайные (хаотические) изменения.

Рассмотрим наложение двух волн Причем хаотически изменяются функции

Сделаем простое преобразование: Представим функцию в виде Введем обозначение получим

Интенсивность волны пропорциональна f 2 поэтому

Таким образом, задачу о когерентности можно свести либо к рассмотрению переменной фазы, либо частоты. Результат интерференции двух волн можно представить в виде: где Последнее слагаемое называется интерференционный член

Время когерентности. Длина когерентности. Время t ког, за которое случайное изменение фазы волны α(t) достигает значения π, называется временем когерентности. Расстояние l ког =ct ког, на которое волна перемещается за время когерентности, называется длиной когерентности. Для получения интерференционной картины путем деления естественной волны на две части необходимо, чтобы оптическая разность хода была меньше длины когерентности.

Немонохроматичность световых волн и теорема Фурье Согласно теореме Фурье любую конечную и интегрируемую функцию F(t) можно представить в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих: A(ω) – амплитуда соответствующей монохроматической волны:

Пусть F(t) имеет вид волнового цуга: Вне интервала [-τ/2, τ/2] функция F(t) равна нулю.

Амплитуды гармонических составляющих имеют вид

После подстановки пределов интегрирования и несложных преобразований приходим к формуле: Интенсивность гармонической составляющей волны пропорциональна квадрату амплитуды:

Из рисунка видно, что интенсивность составляющих, частоты которых заключены в интервале Δω=2π/τ, значительно превосходит интенсивность остальных составляющих:

Это позволяет связать длительность цуга τ с частотным интервалом Δω: Отождествив τ со временем когерентности, получим соотношение

Частота связана с длиной волны в вакууме соотношением ν = c/λ 0 Продифференцировав это соотношение, найдем Подставив (2) в (1) найдем:

Отсюда для длины когерентности получим Максимум m-го порядка получается при разности хода Когда эта разность хода достигает значений порядка длины когерентности, полосы становятся неразличимыми.

Поэтому предельный наблюдаемый порядок интерференции определяется условием:

Пространственная когерентность Пространственная когерентность связана с разбросом направлений вектора k. Разброс характеризуется вектором Δe k. Из этого рисунка видно, что угол φ характеризует интервал, в котором заключены орты e k. Будем считать этот угол малым.

Пусть свет от источника падает на две узкие щели Будем считать, что Δω ~ 0. волна от точки О создает центральный максимум.

Поскольку φ

Умножив неравенство (5) на d/φ, получим d < λ/φ (6) Совокупность волн с разными e k можно заменить результирующей волной, падающей на экран со щелями. В соответствии с неравенством (6), колебания, возбуждаемые волной в достаточно близких точках псевдоволновой поверхности, оказываются когерентными. Такая когерентность называется пространственной.

Введем расстояние ρ ког, при смещении на которое вдоль псевдоволновой поверхности случайное изменение фазы достигает значения порядка π. Колебания в двух точках псевдоволновой поверхности, отстоящих друг от друга на расстояние, меньшее ρ ког, будут приблизительно когерентными. Расстояние ρ ког, называется длиной пространственной когерентности или радиусом когерентности. Из формулы (6) следует, что ρ ког, ~ λ/φ. Объем когерентности:

Угловой размер Солнца 0.01 рад, длина световых волн составляет примерно 0.5 мкм ρ ког, = (0.5/0.01) мкм=50 мкм = 0.05 мм.

Способы наблюдения интерференции света Зеркала Френеля

d = 2r sinφ 2rφ Из рисунка видно, что a = r cosφ r. Следовательно, l = r + b. Воспользуемся формулой для ширины интерференционной полосы:

Бипризма Френеля

Можно показать, что для малых углов φ = (n 1) ϑ Расстояние между мнимыми источниками равно Расстояние от источника до экрана равно l=a+b. Ширина интерференционной полосы равна

Интерференция света при отражении от тонких пластинок

Оптическая разность хода Δ = ns 2 s 1. (7) s 1 – длина отрезка BC, а s 2 – суммарная длина отрезков AO и OC. Из рисунка следует, что s 1 =2btg ϑ 2 sin ϑ 1, s 2 =2b/cos ϑ 2. Подстановка этих значений в (7) дает Произведя замену nsin ϑ 1 =sin ϑ 2 и учтя, что

Легко получим для Δ: В точке С происходит отражение от оптически более плотной среды, поэтому фаза волны претерпевает изменение на π:

Для того, чтобы имела место временная когерентность, оптическая разность хода не должна превосходить длину когерентности или

В полученном соотношении λ 0 /Δλ 0 >>1/2, и выражение Поэтому можно записать удвоенная толщина пластинки должна быть меньше длины когерентности.

Пример: λ = 0.5 мкм, Δλ = 0.02 мкм, тогда b < /(2×0.02)=60 (мкм)=0.06 мм Рассмотрим условия соблюдения пространственной когерентности. Поставим на пути отраженных лучей экран Э.

Из рисунка видно, что расстояние между падающими лучами 1 и 2 равно Если принять, что n = 1.5, ϑ 1 = 45°, то ρ = 0.8 b; для ϑ 1 = 10° ρ = 0.1 b. Радиус когерентности света приблизительно равен 0.05 мм. Должно выполняться соотношение ρ < 0.05 мм

Практически интерференцию от плоскопараллельной пластинки наблюдают, поместив на пути отраженных пучков линзу, которая собирает лучи в одной из точек экрана, расположенного в фокальной плоскости.

Освещенность в этих точках зависит от оптической разности хода Условие максимума интенсивности имеет вид Каждая полоса образована лучами, падающими на пластинку под одинаковым углом ϑ 1. Поэтому интерференционные полосы называются полосами равного наклона.

Пластинка переменной толщины Возьмем пластинку в виде клина с углом при вершине φ.

Временная когерентность будет соблюдаться только для частей клина, толщина которых удовлетворяет условию (9) Предположим, что это условие выполняется для всего клина, а радиус когерентности намного превышает длину клина. При малом угле φ разность хода можно с достаточной точностью определять по формуле (8). Каждая из полос возникает в результате отражения от участков клина с одинаковой толщиной, поэтому их называют полосами равной толщины.

Наблюдение полос равной толщины на экране

Кольца Ньютона Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона

Радиусы колец Ньютона Предположим, что в зазоре n = 1. Из рисунка следует (Пифагор), что отсюда При отражении от пластинки происходит изменение фазы на π. Поэтому оптическая разность хода равна (10)

Записав равенство Δ = mλ 0 /2, получим, что при четных m будут наблюдаться максимумы, а при нечетных – минимумы интенсивности. Подставив последнее выражение в уравнение (10), получим радиусы светлых и темных колец Ньютона: Четным m соответствуют светлые кольца, нечетным – темные. Значению m = 1 соответствует r = 0, т.е. Точка касания пластинки и линзы. В этой точке наблюдается минимум.