Волны де Бройля. Уравнение Шрёдингера Лекция 2 Весна 2012

Волны де Бройля Луи Виктор Пьер Раймон, 7-й герцог Брольи, более известный как Луи де Бройль (фр. Louis-Victor-Pierre- Raymond, 7ème duc de Broglie, Louis de Broglie; 15 августа марта 1987)

Еще раз о фотонах Энергия фотона: Из СТО известно, что энергия частицы E связана с ее импульсом р и скоростью v соотношением

Импульс фотона Из формул (1) и (2) следует, что импульс фотона определяется соотношением Здесь n – единичный вектор, k – волновой вектор, или

Гипотеза де Бройля В 1924 г. Луи де Бройль предположил, что дуализм волна – частица является универсальным свойством материи. Каждой частице можно сопоставить волну, длина которой определяется соотношением де Бройля Соответственно, импульс и энергия частицы равны:

Дифракция электронов (1927 г.) Опыт Дэвиссона и Джермера (Davisson and Germer) Электронный пучок Коллектор

Дифракционная картина Первое подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году в опытах американских физиков К. Дэвиссона и Л. Джермера. Пучок электронов ускорялся в электрическом поле с разностью потенциалов В (энергия таких электронов эВ, что соответствует λ0.1 нм) и падал на кристалл никеля, играющий роль пространственной дифракционной решётки.

Еще один опыт. Опыт Томсона и Рейда (Thomson and Reid)

Дифракция фуллеренов (buckyballs ) В 1999, Антон Цейлингер с сотрудниками (Anton Zeilingers group) Венского Университета наблюдали волновые свойства молекул C 60 (buckminsterfullerenes or buckyballs) и молекул C 70. В то время это были самые большие объекты, которые проявляли волновые свойства. Их диаметры составляли около 1 нм.

Фуллерен С 60

Дифракция больших молекул Диаметр около 2 нм тетрафенилпорфирин

Гемоглобин Диаметр около 2 нм (L Hackermüller et al Phys. Rev. Lett ).

Принцип неопределенности В классической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. Перечисленные величины называют динамическими переменными. Согласно второму закону Ньютона Движение классической частицы определяется дифференциальным уравнением второго порядка. Для его решения необходимы два дополнительных условия: начальные координаты r = r 0 и начальная скорость.

Принцип неопределенности (продолжение) Начальные данные независимы от законов Ньютона и не могут быть получены из последних. Именно начальные значения и определяют начальное состояние частицы. Зная их и используя уравнения движения можно, в принципе, узнать прошлое и предсказать будущее классической частицы.

Принцип неопределенности (продолжение). Соотношение неопределенностей Гейзенберга Своебразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех динамических переменных получаются при измерениях определенные значения. Например, микрочастица не может иметь одновременно точных значений координаты x и соответствующей компоненты импульса p x. Неопределенности их значений Δx и Δp x связаны соотношением неопределенностей Гейзенберга:

Соотношение неопределенностей Гейзенберга (продолжение) В общем виде соотношение неопределенностей можно представить в виде: Динамические переменные A и B, неопределенности которых удовлетворяют этому соотношению, называются канонически сопряженными.

Энергия и время Энергия E и время t являются канонически сопряженными переменными. Поэтому или Здесь Δt – время, необходимое для измерения энергии с точностью ΔE.

Волновая функция (пси-функция) В квантовой механике состояние микрочастицы описывается волновой функцией Ψ. Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности P обнаружить частицу в данной точке пространства: Условие нормировки показывает, что вероятность обнаружить частицуво всем пространстве равна единице:

Физический смысл волновой функции Вероятность dP обнаружить частицу в окрестности точки с координатами x, y, z в объеме dV равна

Уравнение Шредингера Рассмотрим для простоты одномерный случай. Согласно де Бройлю свободной частице можно сопоставить волну или

Продифференцируем Ψ один раз по t и дважды по x Получим Теперь выразим E и p 2

Временное уравнение Щредингера для свободной частицы В нерелятивистской механике Поэтому из (1) получаем

Временное уравнение Щредингера при наличии взаимодействия Из механики известно, что Теперь легко из (1) получить, что

Операторное представление уравнения Шредингера Оператор Лапласа – лапласиан: Оператор Гамильтона - гамильтониан

Стационарное уравнение Шредингера Если функция U не зависит от времени, то она имеет смысл потенциальной энергии, и решение уравнения (2) принимает вид: После подстановки (3) в (2) получим стационарное уравнение Шредингера

Стандартные условия В соответствии с физическим смыслом пси-функции она должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, может быть, особых точек). Кроме того, она должна иметь непрерывную и конечную производную.

Бесконечно глубокая одномерная потенциальная яма Потенциальная энергия имеет вид U(0) = U(l) =, U = 0 на отрезке 0 < x < l.

За пределы потенциальной ямы частица проникнуть не может, поэтому ψ(0)=ψ(l)=0 Поэтому в потенциальной яме уравнение имеет вид Введем обозначение В этих обозначениях уравнение Шредингера имеет вид

Решение уравнения (5) имеет вид a, α – константы. Из первого граничного условия имеем Поэтому α = 0.

Из второго граничного условия следует, что решение должно удовлетворять условию Из этого соотношения получаем Значение n=0 отбрасывается, т.к. в этом случае ψ = 0 во всем пространстве.

Подставив последнее соотношение в (5), получим для энергии частицы выражение

Классический предел (n ~ ) Найдем разность двух соседних уровней энергии ΔE n : Относительное изменение расстояния между соседними уровнями энергии равно