Атом водорода в квантовой механике Лекция 4 Весна 2012 г. Лектор Чернышев А.П.

Распределение электронной плотности в водороде

Линейчатые спектры

Спектры атома водорода Серия Лаймана Серия Бальмера Серия Пашена Серия Брэкета Серия Пфунда

Обобщенная формула Бальмера R = 2.07×10 16 c 1 – постоянная Ридберга Спектральные термы:

Модель атома Томсона В 1903 г. Дж. Дж. Томсон ( Sir Joseph John J. J. Thomson) предложил свою модель атома.

Равномерно заполненный положительным зарядом шар, внутри которого находится электрон Напряженность поля внутри равномерно заряженного шара

Сила, действующая на электрон, равна Уравнение движения (второй закон Ньютона):

Обсуждение модели Томсона Частота колебаний электрона: Модель дает правильное значение частоты

Обсуждение модели Томсона (продолжение) Модель Томсона не позволяет объяснить дискретность спектров и противоречит экспериментальным данным, например, опытам Резерфорда. Опыты Резерфорда Источник экран

Эрне́ст Ре́зерфорд (англ. Ernest Rutherford; 30 августа 1871, Спринг Грув 19 октября 1937, Кембридж) британский физик новозеландского происхождения.

Планетарная модель Резерфорда

Выводы из опытов Резерфорда Таким образом, опыты Резерфорда и его сотрудников привели к выводу, что в центре атома находится плотное положительно заряженное ядро, диаметр которого не превышает 10 –14 –10 –15 м. Это ядро занимает только 10 –12 часть полного объема атома, но содержит весь положительный заряд и не менее 99,95 % его массы. Веществу, составляющему ядро атома, следовало приписать колоссальную плотность порядка ρ г/см3. Заряд ядра должен быть равен суммарному заряду всех электронов, входящих в состав атома. Впоследствии удалось установить, что если заряд электрона принять за единицу, то заряд ядра в точности равен номеру данного элемента в таблице Менделеева.

Недостатки модели Резерфорда Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, – это попытка применения классических представлений о движении тел к явлениям атомных масштабов. Она оказалась несостоятельной. Классический атом неустойчив. Электроны, движущиеся по орбите с ускорением, должны неизбежно упасть на ядро, растратив всю энергию на излучение электромагнитных волн

Недостатки модели Резерфорда (продолжение) В модели Резерфорда отрицательно заряженные электроны движутся по орбитам вокруг положительно заряженного ядра. Орбиты электронов могут быть точно определены из законов классической механики. Ядро взаимодействует с электронами по закону Кулона

Недостатки модели Резерфорда (продолжение) Недостатки модели Резерфорда (продолжение) Поскольку электроны обладают зарядом и движутся с ускорением, то они теряют энергию, излучая электромагнитные волны. Поэтому, двигаясь по сужающейся спирали, должны упасть на ядро.

Боровская теория атома водорода Постулаты Бора должны были преодолеть эти противоречия. 1.атомная система может находится только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия E n. В стационарных состояниях атом не излучает. Не все орбиты доступны для электронов, а только те, для которых справедливо соотношение

Это соотношение можно получить, потребовав чтобы целое число дебройлевских волн приходилось на орбиту

2. Это соотношени Переход электрона с одной орбиты на другую возможен за счет поглощения или излучения кванта энергии излучения. Когда электрон переходит с орбиты с энергией Е 1 на орбиту с меньшей энергией Е 2, энергия кванта определяется соотношением Эти последние два пункта обычно и называют постулатами Бора

Теперь получим спектр энергии электрона в атоме водорода Закон Кулона дает

Из второго закона Ньютона следует, что Из формулы (1) следует, что кинетическая энергия равна

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром равна Полная механическая энергия равна (см. (2) и (3)):

Из соотношения И уравнения (2) следует, что Полная энергия тогда равна

Постоянная Ридберга Из второго постулата Бора следует, что В формуле (6) принято, что ядро атома водорода покоится. На самом деле ядро атома водорода (протон) и электрон вращаются вокруг общего центра масс. Поэтому массу электрона m в (6) надо заменить на приведенную массу (m p – масса протона)

Постоянная Ридберга

Схема уровней атома водорода

Пространственное квантование (квантование момента импульса) Для нахождения квадрата момента импульса надо решить уравнение Решение этого уравнения дает l – азимутальное (орбитальное) квантовое число

С помощью азимутального квантового числа обозначаются термы атома водорода:

Магнитное квантовое число Вид оператора L z простой: Поэтому найдем его собственные значения и собственные функции. Для этого решим уравнение

Ищем решение в виде Подстановка в (7) дает Таким образом, решение имеет вид

Для того, чтобы в.ф. была однозначной, должно выполняться соотношение или

Решение уравнения (9) приводит к соотношению m – магнитное квантовое число. Квантовые числа: n – главное квантовое число, l – азимутальное квантовое число, m – магнитное квантовое число, m S – спиновое квантовое число.

Уравнение Шредингера и атом водорода Потенциальная энергия равна Следовательно уравнение Шредингера имеет вид

Уравнения (9) имеет решения, удовлетворяющие стандартным условиям в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях E; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных