Принцип Паули. Многоэлектронные атомы Лекция 5. Весна 2012 г.

Спин S Классический момент импульса стремится к нулю при r, стремящемся к нулю: В квантовой механике момент импульса не зависит от размеров микрочастицы и остается конечным (если не равен нулю по определению)

Спин Ŝ (продолжение) В нерелятивистской квантовой механике постулируется, что частицы могут иметь внутреннюю степень свободы, не связанную с пространственным движением и называемую спином. Оператор спина – вектор Ŝ = ħŝ. Его свойства аналогичны квантовомеханическим свойствам момента импульса.

Спин Ŝ (продолжение) Спин Ŝ (продолжение) Гиромагнитное отношение. Магнетон Бора. Магнитный момент электрона равен: Магнетоном Бора называется: Дж/Тл

Тождественность одинаковых частиц Одинаковые частицы в квантовой механике неразличимы. Поэтому гамильтониан системы одинаковых частиц не зависит от перестановки наборов переменных r i и r j, описывающих i-ую и j-ую частицы. Оператор перестановок i-ой и j-ой частиц:

действуя дважды одним и тем же оператором перестановок на пси-функцию, мы получаем исходное состояние, поэтому

Бозоны и фермионы Подействуем оператором перестановок на в.ф. При перестановке одинаковых частиц в.ф. не изменяется и может приобрести только численный множитель ε: Подействуем на то же состояние оператором перестановок еще раз:

Бозоны и фермионы (продолжение) Из уравнения (1) следует, что у оператора перестановок есть два собственных значения: ε =1 – это бозоны ε = 1 – это фермионы

Бозоны и фермионы (продолжение) в.ф. не меняет знака при перестановках любых двух частиц, то есть она полностью симметрична по отношению к их перестановкам. Такие системы называют бозевскими или бозе-системами. Сами такие частицы называются бозонами. в.ф. меняет знака при перестановках любых двух частиц, то есть она полностью антисимметрична по отношению к их перестановкам. Такие системы называют фермиевскими или ферми-системами. Сами такие частицы называются фермионами.

Спин определяет вид частиц (бозоны или фермионы) Часицы с целым спином являются бозонами: S = 0, ħ, 2ħ, 3ħ, …(s = 0, 1, 2, 3, … - спиновое квантовое число) частицы с полуцелым спином являются фермионами:

Принцип Паули Во́льфганг Эрнст Па́ули (нем. Wolfgang Pauli; 25 апреля 1900, Вена 15 декабря 1958, Цюрих) лауреат Нобелевской премии по физике за 1945 год.

Принцип Паули (продолжение) Рассмотрим систему фермионов. Для такой системы справедливо соотношение Отсюда немедленно получается, что

Рассмотрим систему фермионов Формула (2) показывает, что в.ф. обращается в ноль при совпадении переменных любых двух частиц. Это свойство формулируется в виде принципа Паули (1925 г.): в одном и том же атоме (или какой-либо другой квантовой системе) не может быть двух электронов (либо других частиц с полуцелым спином), обладающих одинаковой совокупностью квантовых чисел.

Опыт Штерна и Герлаха Опыт состоял в следующем: пучок атомов серебра пропускали через сильно неоднородное магнитное поле, создаваемое мощным постоянным магнитом. При прохождении атомов через это поле, в силу обладания ими магнитных моментов, на них действовала зависящая от проекции спина на направление магнитного поля сила, отклонявшая летящие между магнитами атомы от их первоначального направления движения. Позднее с аналогичными результатами были проделаны опыты для пучков атомов других металлов, а также пучков протонов и электронов. Эти опыты доказали существование магнитного момента у рассмотренных частиц и показали их квантовую природу.

Опыт Штерна и Герлаха (1922 г.)

F – сила, B – магнитная индукция, α – угол между направлениями векторов B и p m Электронная конфигурация серебра: [Kr] 4d 10 5s 1

Многоэлектронные атомы В сферических координатах

Многоэлектронные атомы Оператор Лапласа

Многоэлектронные атомы Оператор квадрата момента импульса

Задача на собственные значения и собственные функции С этим оператором имеем Уравнение Шредингера допускает разделение переменных

Многоэлектронные атомы. Арифметическая прогрессия Количество электронов в оболочке N e :

Многоэлектронные атомы. С учетом спина, имеем:

Многоэлектронные атомы В. ф. имеет вид:

Многоэлектронные атомы Условия нормировки имеют вид

Вероятность нахождения электрона в элементе объема dV равна

Проинтегрируем (4) по полному телесному углу С учетом условия нормировки (4), получим окончательно

Рассчитанные по уравнению (5), графики зависимостей R 2 r 2

Щелочные металлы Li [He] 2s 1 Na [Ne] 3s 1 K [Ar] 4s 1 Rb [Kr] 5s 1 Cs [Xe] 6s 1 Fr [Rn] 7s 1 α – поправка Ридберга или квантовый дефект

Щелочные металлы (Na) Правила отбора Δl=±1