Туннельный эффект. Квантовый осциллятор Лекция 3 Весна 2012 г. Лектор Чернышев А.П.

Собственные значения и собственные функции Задача на собственные значения и собственные функции: Значения E, удовлетворяющие уравнению (1), называются собственными значениями (энергии). Решения, соответствующие собственным значениям E, называются собственными функциями задачи. Совокупность собственных значений величины называется ее спектром.Если эта совокупность образует дискретную последовательность, спектр называется дискретным.

Собственные значения и собственные функции (продолжение) Если собственные значения образуют непрерывную последовательность, спектр называется непрерывным или сплошным. В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции могут быть пронумерованы:

Ортогональность собственных функций Условие ортогональности Здесь δ nm – символ Кронекера.

Ортонормированные собственные функции частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме собственные функции имеют вид: Константа a определяется из условия нормировки:

Отсюда Легко проверить, что эти собственные функции ортогональны:

Работа выхода Металл представляет для электронов потенциальную яму

Потенциальная яма

Принятые обозначения W p0 – глубина потенциальной ямы; φ – потенциал выхода; A=eφ – работа выхода; A=W p0 –W F W F – положение уровня Ферми; Наименьшая энергия, которую необходимо сообщить электрону для того, чтобы удалить его из твердого или жидкого тела в вакуум, называется работой выхода.

Термоэлектронная эмиссия Термоэлектронной эмиссией называется испускание электронов нагретыми жидкими или твердыми телами.

Вакуумный диод

Плотность тока насыщения

Формула Ричардсона-Дэшмана A – не зависящая от рода металла константа, равная 1.20×10 6 А/(м 2 × К 2 ).

Принцип суперпозиции Пусть некоторая квантово-механическая система может находиться как в состоянии ψ 1, так и в состоянии ψ 2. Тогда существует состояние системы, описываемое функцией c 1, c 2 – произвольные комплексные числа.

Ортонормированные собственные функции образуют базис Любую волновую функцию Ψ можно разложить по этому базису

Физический смысл коэффициента a i Квадраты модулей коэффициентов а i дают вероятности того, что при измерениях, проводимых над системой, находящейся в состоянии ψ, будут получены соответствующие значения q. Поскольку сумма всех таких вероятностей должна бть равна единице, коэффициенты должны удовлетворять условию

Среднее значение физической величины Обозначим физическую величину как q, тогда ее среднее значение равно Если спекр собственных значений непрерывный, тогда

Прохождение частиц через потенциальный барьер Уравнение Шредингера имеет вид

Запишем решение уравнения Шредингера Пусть падающая волна характеризуется вещественной амплитудой a 1. Из условия непрерывности ψ и ψ / в точке x= 0 находим

Коэффициенты отражения R и прозрачности D Коэффициенты отражения и прозрачности определяются так

В качестве примера рассмотрим распределение плотности вероятности местоположения частицы w(x) для случая E=4U 0 /3.

Туннельный эффект Аналогичный рассчет дает, что в случае потенциального барьера произвольной формы для коэффициента прозрачности получается формула

Гармонический осциллятор Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы F=kx. Потенциальная энергия такой частицы имеет вид Собственная частота классического гармонического осциллятора равна

Поэтому потенциальную энергию можно представить в виде Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора имеет вид

Собственные значения энергии и собственные функции гармонического осциллятора имеют вид А 0, А 1, А 2,... – нормировочные коэффициенты

Уровни энергии гармонического осциллятора являются эквидистантными, т.е. отстоящими друг от друга на одинаковое расстояние Наименьшее возможное значение энергии равно Это значение называется нулевой энергией Квантовая механика позволяет вычислить вероятностьи различных переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Эти дополнительные условия называются правилами отбора.

Для гармонического осциллятора правило отбора имеет вид