Лекция 3. Математические методы в логистике Содержание лекции: 1. Формулировка общей задачи управления запасами Формулировка общей задачи управления запасами Формулировка общей задачи управления запасами 2. Классическая задача управления запасами Классическая задача управления запасами Классическая задача управления запасами 3. Моделирование систем регулирования товарных запасов (на самоподготовку) Моделирование систем регулирования товарных запасов Моделирование систем регулирования товарных запасов 4. Отражение формирования и использования запасов при моделировании двухэтапного процесса принятия решения Отражение формирования и использования запасов при моделировании двухэтапного процесса принятия решения Отражение формирования и использования запасов при моделировании двухэтапного процесса принятия решения Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, 2007

Литература Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, раздел 8.2. Управление фирмой / Под ред. Л.Л. Разумновой. М.: МАКС Пресс, Часть 2, с Мельник М.М. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении материально-техническим снабжением: Учебник. М.: Высшая школа, Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, / 16

3.1. Формулировка общей задачи управления запасами Дано: Дано: функция вероятности поставки товара в объёме S от времени t и управляющих воздействий M: p = S(S,t,M) функция вероятности поставки товара в объёме S от времени t и управляющих воздействий M: p = S(S,t,M) в частном случае – функция объёма поставки S = S(t,M) в частном случае – функция объёма поставки S = S(t,M) функция вероятности спроса на товар от времени и управляющих воздействий: p = D(D,t,M) функция вероятности спроса на товар от времени и управляющих воздействий: p = D(D,t,M) в частном случае – функция объёма спроса D = D(t,M) в частном случае – функция объёма спроса D = D(t,M) функция издержек хранения от размера запаса и времени: C = C(U,t) функция издержек хранения от размера запаса и времени: C = C(U,t) целевая функция целевая функция Например, минимум суммы издержек хранения и потерь из-за отсутствия запаса Например, минимум суммы издержек хранения и потерь из-за отсутствия запаса Условие: dU /dt = S – D Условие: dU /dt = S – D Найти: управляющие воздействия, доставляющие оптимум целевой функции Найти: управляющие воздействия, доставляющие оптимум целевой функции Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, / 16

3.2. Классическая задача управления запасами Дано: Дано: наличие товара на складе к концу предыдущего периода – x 0 наличие товара на складе к концу предыдущего периода – x 0 функция плотности распределения вероятностей объёмов спроса в следующем периоде – f(x) функция плотности распределения вероятностей объёмов спроса в следующем периоде – f(x) затраты на хранение единицы товарных остатков – c затраты на хранение единицы товарных остатков – c потери от неполного удовлетворения спроса на единицу товара – k потери от неполного удовлетворения спроса на единицу товара – k Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, 2007 Если заявки на обслуживание независимы и редки, то f ( x ) соответствует закону Пуассона; если независимы и происходят часто – нормальному распределению. 4/ 16

3.2. Условия: Условия: Расчёт остатков: Расчёт остатков: x 1 = max(0, x 0 + h – x) x 1 = max(0, x 0 + h – x) Расчёт неудовлетворённого спроса: Расчёт неудовлетворённого спроса: q = max(0, x – h – x 0 ) q = max(0, x – h – x 0 ) Расчёт издержек: Расчёт издержек: φ = cx 1 + kq φ = cx 1 + kq Найти: Найти: min {h} φ min {h} φ Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, 2007 Пополнение запаса Спрос 5/ 16

3.2. Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, 2007 Сумма произведений издержек и их вероятностей 6/ 16

3.2. Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, 2007 Для второго слагаемого используем формулу производной произведения 7/ 16

3.2. Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, 2007 Если эта величина отрицательна, то оптимальный размер поставки в текущем периоде равен нулю. 8/ 16

3.3. Моделирование систем регулирования товарных запасов (на самоподготовку) Система с заданным размером запаса Система с заданным размером запаса Система с заданной периодичностью заказа Система с заданной периодичностью заказа Система с заданными границами размера запаса Система с заданными границами размера запаса в т.ч. с заданной периодичностью в т.ч. с заданной периодичностью Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, / 16

3.4. Отражение формирования и использования запасов при моделировании двухэтапного процесса принятия решения Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, / 16

3.4. Предприятие может выпускать два вида продукции: Предприятие может выпускать два вида продукции: 1. Из полуфабриката A (1 ц/ц) и покупного ресурса Z (0,5 ц/ц) 2. Из полуфабрикатов A (0,5 ц/ц), B (1 ц/ц) и ресурса Z (1 ц/ц) Полуфабрикаты выпускаются: Полуфабрикаты выпускаются: A.Из ресурсов X и Y (по 1 ц/ц) B.Из ресурса X (2 ц/ц) Цены продукции: Цены продукции: у.е./ц у.е./ц Цена ресурса Z: Цена ресурса Z: В 75% случаев – 5 у.е./ц В 75% случаев – 5 у.е./ц В 25% случаев – 20 у.е./ц В 25% случаев – 20 у.е./ц Имеется возможность приобрести не более 55 ц ресурса Z Имеется возможность приобрести не более 55 ц ресурса Z Ресурсы X и Y уже закуплены в количествах 100 и 50 ц, соответственно Ресурсы X и Y уже закуплены в количествах 100 и 50 ц, соответственно Ресурс Z можно хранить на складе предприятия Ресурс Z можно хранить на складе предприятия Потери составляют 10% за один производственный цикл Потери составляют 10% за один производственный цикл Найти оптимальную производственную программу Найти оптимальную производственную программу (учитывая, что объём производства полуфабрикатов нужно определить уже сейчас, хотя цена на ресурс Z ещё не известна). (учитывая, что объём производства полуфабрикатов нужно определить уже сейчас, хотя цена на ресурс Z ещё не известна). Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, / 16

3.4. Переменные (9) Переменные (9) Априорное решение (2) Априорное решение (2) Производство полуфабрикатов A и B (2) Производство полуфабрикатов A и B (2) Апостериорное решение (6) Апостериорное решение (6) Дешёвый ресурс Z (3) Дешёвый ресурс Z (3) Покупка ресурса Z (1)Покупка ресурса Z (1) Выпуск продуктов 1 и 2 (2)Выпуск продуктов 1 и 2 (2) Дорогой ресурс Z (3, те же) Дорогой ресурс Z (3, те же) Формирование запаса ресурса Z (1) Формирование запаса ресурса Z (1) Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, / 16

3.4. Ограничения (10) Ограничения (10) Априорное решение (2) Априорное решение (2) Баланс ресурсов X и Y (2) Баланс ресурсов X и Y (2) Апостериорное решение (8) Апостериорное решение (8) Дешёвый ресурс Z (4) Дешёвый ресурс Z (4) Баланс полуфабрикатов A и B (2)Баланс полуфабрикатов A и B (2) Баланс ресурса Z (1) – здесь отражается формирование запасаБаланс ресурса Z (1) – здесь отражается формирование запаса Лимит покупки ресурса Z (1)Лимит покупки ресурса Z (1) Дорогой ресурс Z (4) Дорогой ресурс Z (4) Баланс полуфабрикатов A и B (2)Баланс полуфабрикатов A и B (2) Баланс ресурса Z (1) – здесь отражается использование запасаБаланс ресурса Z (1) – здесь отражается использование запаса Лимит покупки ресурса Z (1)Лимит покупки ресурса Z (1) Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, / 16

Вероятность пополнения запаса Вероятность расходования запаса Потери за один производствен- ный цикл 3.4. Ограничения Ограничения Априорное решение Априорное решение Баланс ресурсов X и Y Баланс ресурсов X и Y 1x A +2x B 1001x A +2x B 100 1x A 501x A 50 Апостериорное решение Апостериорное решение Дешёвый ресурс Z Дешёвый ресурс Z Баланс полуфабрикатов A и BБаланс полуфабрикатов A и B o 1x 11 +0,5x 12 x A o 1x 12x B Баланс ресурса Z – здесь отражается формирование запасаБаланс ресурса Z – здесь отражается формирование запаса o 0,5x 11 +1x 12 +(1/(1-0,1))x 0 x 1Z Лимит покупки ресурса ZЛимит покупки ресурса Z o x 1Z 55 Дорогой ресурс Z Дорогой ресурс Z Баланс полуфабрикатов A и B (составьте самостоятельно)Баланс полуфабрикатов A и B (составьте самостоятельно) Баланс ресурса Z – здесь отражается использование запасаБаланс ресурса Z – здесь отражается использование запаса o 0,5x 21 +1x 22 x 2Z +(0,75/0,25)x 0 Лимит покупки ресурса Z (составьте самостоятельно)Лимит покупки ресурса Z (составьте самостоятельно) Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, 2007 x 0 – переменная по формированию запаса Измеряется в количестве ресурса, направляемого на пополнение запаса за один благоприятный производственный цикл 14/ 16

3.4. Формулировка в программе XA и решение Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, / 16

3.4. Метод позволяет определить: Метод позволяет определить: потоки ресурсов потоки ресурсов на пополнение запасана пополнение запаса на использование запаса,на использование запаса, не позволяет определить размер запаса не позволяет определить размер запаса Оптимальный размер запаса Оптимальный размер запаса определяют с помощью подходящей модификации общей задачи управления запасами определяют с помощью подходящей модификации общей задачи управления запасами возможно выделение третьего и четвёртого исходов (когда запас кончился и когда склад полон) с вероятностью, определённой при помощи о.з.у.з. возможно выделение третьего и четвёртого исходов (когда запас кончился и когда склад полон) с вероятностью, определённой при помощи о.з.у.з. при этом уточняются потери от отсутствия запаса, что приводит к итеративной процедуре решения при этом уточняются потери от отсутствия запаса, что приводит к итеративной процедуре решения возможно объединение стохастической двухэтапной задачи и задачи управления запасами возможно объединение стохастической двухэтапной задачи и задачи управления запасами для решения придётся воспользоваться методами нелинейного программирования для решения придётся воспользоваться методами нелинейного программирования процедура поиска решения может оказаться нетривиальной процедура поиска решения может оказаться нетривиальной Математические методы в логистике (с) Н.М. Светлов, / 16