Суперкомпьютер и дискретная топология. (кодирование комплексов) Г.Г.Рябов (НИВЦ МГУ) Международная научная конференция, посвященная 80-летию академика В.А.Мельникова.

Великолепная семерка. В.А.Мельников в кругу выдающихся математиков. Сидят: С.М.Никольский, Л.С.Понтрягин, А.Н.Тихонов, Г.И.Марчук. Стоят: Ю.В.Прохоров, В.А.Мельников, С.П.Новиков.

Топологические вычисления в НИВЦ МГУ в гг.

База топологических построений R n - n-мерное евклидово пространство. Z n - подпространство целых точек R n, как множество вершин объектов. Vp –множество простых (примитивных) ребер, не имеющих внутренних целых точек, р-максимальный модуль |Δх i | (i=1-n); {Zn,Vp}-база.

k-грани n-куба. Грани n-куба : Вершины-грани 0-размерности, Ребра-грани 1-размерности, Грани 2-размерности.(квадраты) k-грани n-куба- грани размерностей 0kn. n-грань в n-кубе- сам n-куб. Грани в n-кубе – кубы меньших размерностей.

Кубические комплексы {Z 3,V 1 }

От треугольника к пирамиде Паскаля, кратчайший путь на трехмерной решетке -код грани.

Кодирование k-граней n-куба. D=d 1 d 2 …d n ; n-разрядное слово e 1 e 2 … e n ; d im =2;m=1-k; e i1 x e i2 x…e ik ; d jr =0,1;r=1-(n-k); T{0,1}; D Пe i +T{0,1}; грань (e 1 xe 2 xe 5 ) в 6-кубе (220020)транс.из (000000) (000101)

Биекция {I n } {3 n }. к-грань в n-кубе = троичный n-разрядный код с k двойками в разрядах, чьи номера равны номерам задействованных реперных векторов. Для 3-куба: 000,001,010,…111 -вершины; 002,012,020,021,102,112,…211-ребра; 022,122,202,212,220,221 -грани; куб;

Кодирование комплексов. Алфавит {0;1;2} Слово из n букв - грань в n-кубе; Строка из m слов – кубический комплекс в I n Строки с n-координатами-комплекс в R n. Определение пересечений и поглощений комплексов поразрядные операции ,021122, , комплекс размерности 3 в 6-мерном пространстве, связный, общая вершина К=Q/2 (размерность)+Т/1(трансляция).

Операции пересечения и поглощения Ø-пустое множество 0-отсутствие трансляции 1- наличие трансляции 2-наличие ребра

Бутылка Клейна в R 3 (Z 3,V1).

Бутылка в памяти. Трехмерный байтовый массив. В байте-номер комплекса (в данном случае двумерного) Бутылка Клейна- «емкостью» 75 байт. «Панельное» топологическое строительство.

Кодирование - конструктивный подход к перечислению Ω Случайная динамика перестроек комплексов- цепь Маркова. Корректное (аксиоматика Колмогорова) вычисление переходных вероятностей – через перечисление Ω в кодовом представлении. Анализ эргодических и периодических свойств цепей Маркова-поведение степеней матриц переходных вероятностей.

Динамика примитивных триангуляций R 3. Кодирование диагоналей в гранях плоских разверток куба. (Перестройка диагонали в одной грани).

Спектр вершинных полиэдров в примитивно триангулированном R 3.(суперкомпьютер МГУ «Чебышев»)

Перспективы т-кодирования. Представление «полуквантовыми» т-кодами n- мерных комплексов (c их симметриями) и их проекций в меньшие размерности. Распараллеливание вычислений до поразрядных операций. Действие cимметрической группы Sn на комплекс, как на строку слов. Учет т-кодовых представлений и операций над ними в архитектуре будущих суперкомпьютеров.

Литература: Г.Г.Рябов. Маршрутизация на решеточно-клеточных структурах. Ж.Вычислительные методы и программирование. МГУ.Т5,N1,2004. Г.Г.Рябов. Метрические и топологические волны на решетках.МГУ Г.Г.Рябов,В.А.Серов. Отображения целочисленных множеств и евклидовы приближения. Ж.Вычислительные методы и программирование.МГУ.Т8,N1, 2007 G.Ryabov,V.Serov. Simplicial-lattice model and metric-topological constructions. Proceed. International conference PRIP2007.V2,p Г.Г.Рябов. О путевом кодировании к-граней в n-кубе. Ж.Вычислительные методы и программирование.МГУ.Т9,N1,2008 Г.Г.Рябов, В.А.Серов. Компьютерные комбинаторно-топологические построения и их преобразования. Ж. Информационные технологии и вычислительные системы. Изд.РАН.N2,2008 Г.Г.Рябов. Марковские цепи в динамике примитивной триангуляции R 3 и R 4. Ж.Вычислительные методы и программирование. МГУ.Т10,N1,2009 vizcom.ru