Бифуркационные механизмы перехода к хаосу Основные сценарии возникновения динамического хаоса: 1.Через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода (сценарий Фейгенбаума). 2.Через разрушение двумерного тора (теорема Афраймовича-Шильникова) или через разрушение замкнутой инвариантной кривой. 3.Через перемежаемость (сценарий Помо-Манневиля) (чередование во времени почти регулярных колебаний с интервалами хаотического поведения, наблюдающийся сразу за порогом возникновения хаоса). При изменении управляющих параметров ДС по-разному проявляются ее нелинейные свойства. С ростом влияния нелинейности происходит усложнение динамического режима. Простые аттракторы в фазовом пространстве диссипативной системы сменяются более сложными. При определенных условиях нелинейность приводит к возникновению динамического (или детерминированного) хаоса. Движение в пространстве параметров вдоль соответствующего направления позволяет наблюдать последовательность бифуркаций, в результате которой формируется хаотический аттрактор. Такие типичные бифуркационные последовательности объединяются понятием бифуркационных механизмов, или сценариев развития хаоса.

При описании поведения динамической системы в терминах фазового пространства установившемуся режиму соответствует некий объект (состояние/множество состояний/некоторая траектория), который «притягивает» траектории из некоторой окрестности. Подобный объект (или геометрический образ установившихся автоколебаний в фазовом пространстве системы) называется аттрактор (от англ. глагола to attract – притягивать, привлекать). Аттракторы могут быть простыми или регулярными (устойчивое состояние равновесия, устойчивый цикл, замкнутая инвариантная кривая) и хаотическими. Динамическая система может иметь несколько аттракторов при одних и тех же значениях управляющих параметров. Наглядным примером может служить движение шарика на поверхности сложного рельефа, содержащего ряд ямок и бугорков. Очевидно, что каждой локальной ямке соответствует область, из которой шарик в нее скатится. При попадании шарика за пределы этой области – он скатится в другую ямку. Система, в фазовом пространстве которой сосуществует несколько устойчивых состояний, называется мультистабильной. В простейшем случае, когда сосуществуют только два устойчивых состояния, система называется бистабильной. Множество значений начальных условий (область начальных состояний системы), при которых в системе наблюдается один и тот же аттрактор, называется бассейном притяжения аттрактора.

Что такое хаос? Проведем мысленный эксперимент с броуновский частицей. Поместим частицу в начальный момент времени t = t 0 в раствор жидкости и с помощью микроскопа начнем фиксировать ее положение во времени, отмечая координаты частицы через равные интервалы t. Мы увидим, что под действием случайных толчков со стороны окружающих молекул частица будет совершать нерегулярные блуждания, которые характеризуются запутанной траекторией. Повторим эксперимент несколько раз подряд, осуществляя в пределах возможного воспроизводство начальных условий опыта. Каковы будут результаты? 1. Траектории движения частицы будут сложными, непериодическими. 2. Любая попытка однозначного повторения опыта приведет к отрицательному результату. Следовательно, каждый раз при повторении опыта с одинаковыми (в пределах наших возможностей) начальными условиями мы будем получать различные траектории движения частицы, которые даже близко не напоминают друг друга! Классическое явление движения броуновской частицы дает нам четкие физические представления о хаосе как о непредсказуемом, случайном процессе. Таким образом, если мы говорим о хаосе, мы подразумеваем, что изменение во времени состояния системы является случайным (его нельзя однозначно предсказать) и невоспроизводимым (процесс нельзя повторить).

Что такое детерминированный хаос? В чем состоит отличие «случайного» процесса от детерминированного хаоса? Понятия «детерминизм» и «хаос» являются прямо противоположными по смыслу. Детерминизм – это полная однозначная предсказуемость и воспроизводимость процесса. Во всех случаях, когда говорят о детерминированности, подразумевают однозначную взаимосвязь причины и следствия. Применительно к эволюционным законам это означает, что если задано некоторое начальное состояние системы, то оно однозначно определяет состояние системы в любой момент времени. Понятие «хаос» (как мы установили выше) ассоциируется с полной непредсказуемостью и невоспроизводимостью. Тогда что объединяет эти два противоположных по смыслу понятия? Пусть у нас есть некоторая динамическая система, описываемая системой 3-х дифференциальных уравнений. Исходное состояние – неустойчивое состояние равновесия в нуле координат. Зададим некоторое малое отклонение от состояния равновесия, проинтегрируем систему и представим ее решение в виде фазовой траектории в трехмерном пространстве. В силу неустойчивости начальное возмущение будет нарастать. Траектория раскручивается в трехмерном пространстве, удаляясь от точки 0 по спирали. Достигнув некоторых значений и испытывая действие нелинейного ограничения, траектория вновь вернется в окрестность исходного состояния.

Далее, ввиду неустойчивости, процесс будет повторяться. В принципе возможны 2 варианта: 1) траектория, спустя конечное время, замкнется, демонстрируя наличие некоторого сложного, но периодического процесса; 2) траектория будет воспроизводить некий апериодический процесс, если при t замыкания не произойдет. Результаты, представленные на рисунке, отвечают 2-му случаю и иллюстрируют режим детерминированного хаоса! Действительно, работает основной принцип детерминизма: будущее однозначно определено начальным состоянием. Однако процесс эволюции системы во времени является сложным, непериодическим. Чисто внешне он ничем не отличается от случайного, но при более детальном анализе вскрывается одно существенное отличие этого процесса от случайного: этот процесс воспроизводим! Действительно, повторив еще раз начальное состояние, в силу детерминированности компьютер вновь воспроизведет ту же самую траекторию независимо от степени ее сложности. Значит, этот непериодический процесс не является хаотическим по определению хаоса, данного выше? Да, это сложный, похожий на случайный, но тем не менее детерминированный процесс. Важно здесь то, что он характеризуется неустойчивостью.

Режиму детерминированного хаоса отвечает хаотический аттрактор в фазовом пространстве системы. Такой аттрактор имеет два существенных отличия: траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима первоначально нарастают). Именно второе отличие и привело к необходимости ввести в рассмотрение новый термин – странный аттрактор. Таким образом, странный хаотический аттрактор отражает нерегулярное поведение динамической системы во времени (но в то же время имеется строгая предсказуемость в смысле детерминированности закона эволюции: процесс воспроизводится при фиксированных начальных условиях) и фазовые траектории, принадлежащие хаотическому аттрактору, всегда неустойчивы. Характерным свойством хаотических ДС является высокая чувствительность к заданию начальных условий – butterfly effect.

Моделью странного хаотического аттрактора может служить предельное множество, возникающее в так называемом отображении подковы (отображении Смейла): единичный квадрат с «шапочками» с обеих сторон сжимается по одному направлению и растягивается по другому, причем площадь при этом уменьшается; затем получившаяся полоска изгибается в форме подковы и вкладывается обратно в исходный квадрат. Эта процедура повторяется много раз. В пределе образуется множество с нулевой площадью, которое не является совокупностью счетного множества точек или линий и имеет в поперечном сечении канторову структуру.

Канторово множество (Cantor set) Из единичного отрезка C 0 = [0,1] удалим среднюю треть, т.е. интервал (1/3,2/3). Оставшееся точечное множество обозначим C 1 = [0,1/3] [2/3, 1], которое состоит из 2-х отрезков. Удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через C 2. Повторим эту процедуру (в идеале она бесконечна). Пересечение всех C i дает множество C, которое называется канторовым. Канторово множество представляет собой один из простейших фракталов, который обозначает геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, т.е. составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Если сложить все длины сегментов, которые мы убрали, то получим следующее:

Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Универсальность Фейгенбаума. Каскад бифуркаций удвоения в логистическом отображении Логистическое отображение (также известное как квадратичное отображение, или отображение Фейгенбаума) является полиномиальным отображением, которое широко используется в качестве типичного примера того, как сложное, хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных уравнений. Данное отображение было введено еще в 1845 г. П.Ф. Ферхюльстом для описания динамики популяции в замкнутой среде. Относительная численность особей x n+1 в (n + 1)-й год пропорциональна численности особей в предыдущий год (x n принимает значения от 0 до 1 и отражает численность популяции в n-м году), а также свободной части жизненного пространства, которая пропорциональна (1 - x n ), т.е. Положительный параметр характеризует скорость роста популяции.

Другой отличительной особенностью, которая обусловила известность логистического отображения, явилось то, что это одномерное отображение послужило примером для демонстрации и изучения формирования хаотического аттрактора в результате бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода циклов. При каждой такой бифуркации период возрастает вдвое, что соответствует «уполовиниванию» частоты, т.е. появлению субгармоники в спектре колебаний. По этой причине такую последовательность бифуркаций называют также субгармоническим каскадом. Сценарий перехода к хаосу через каскад удвоения периода очень часто наблюдается в динамических системах с непрерывным временем и является одним из основных механизмов развития хаоса. На примере одной их самых простейших дискретных одномерных систем можно очень наглядно пронаблюдать и проанализировать данный каскад. А все его свойства и закономерности будут в точности проявляться и в более сложных дискретных и непрерывных системах. Теория перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода была развита на базе модельных одномерных отображений М. Фейгенбаумом, поэтому сам данный бифуркационный механизм получил название сценария Фейгенбаума.

Иерархия циклов и переход к хаотическому поведению в логистическом отображении при изменении параметра При = 4 траектория не замыкается даже при большом числе итераций 2-цикл, = цикл, = цикл, =3.544 (51)

Механизм последовательного увеличения периода циклов отображения (51) Как мы уже показывали, при 1 < < 3 отображение (51) имеет неподвижную точку (цикл периода 1) x* = 1- 1/. Она устойчива, если ее мультипликатор | | =|f (x * )| = |2 – | < 1. При 1 = 3.0 мультипликатор принимает значение = -1. Неподвижная точка теряет свою устойчивость и происходит бифуркация удвоения периода. Рассмотрим дважды примененное отображение В точке 1 = 3 данное отображение претерпевает бифуркацию вил, при которой из потерявшей устойчивость x* рождаются две новые устойчивые неподвижные точки x* 1 и x* 2. Для исходного отображения (51) они образуют цикл периода 2: Однократно примененное отображение при переходе от = 2.9 к = 3.1 Двукратно примененное отображение при переходе от = 2.9 к = 3.1, наблюдается бифуркация удвоения

w 2-цикл устойчив в области значений параметра

При 2 = … точки x* 1 и x* 2 одновременно теряют устойчивость, когда их мультипликаторы (f (2) (x* 1 ) и f (2) (x* 2 )) в свою очередь достигают значения -1. После бифуркации удвоения образуется цикл периода 4 отображения (51). Цикл периода 4 Цикл периода 8 Наблюдается последовательность бифуркаций удвоения и появление циклов периода 2 n.

При значении приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.

Бифуркационная диаграмма логистического отображения Чтобы увидеть весь процесс усложнения циклов отображения (51) по мере роста параметра, строится однопараметрическая бифуркационная диаграмма, по горизонтальной оси которой отложены значения, а по вертикальной – значения x n, принадлежащие установившемуся режиму (время n должно быть достаточно большим). Бифуркационным точкам, где происходит смена устойчивого режима, соответствуют точки ветвления диаграммы. Оценив их положение на диаграмме, можно определить тем самым области устойчивости циклов.

Большинство значений μ, превышающих 3.57, демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные «окна» значений μ, при которых система ведет себя регулярно. Обычно их называют «окнами периодичности». К примеру, начиная со значения 1+ 8 (приблизительно 3.83), существует набор значений параметров μ, при которых наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений μ - между 6, потом 12 и т.д. Фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений – периодов циклов. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского. При μ = 4, значения отображения покидают единичный интервал и расходятся при любых начальных условиях.

Кроме хаотических траекторий, логистическое отображение имеет в закритической области множество периодических траекторий с различными периодами. В работе А.Н. Шарковского устанавливается иерархия циклов гладкого необратимого отображения отрезка. Цикл периода M считается сложным, чем цикл периода N, если из существования M-цикла следует существование N-цикла. Говорят, что между периодами существует отношение M N. Согласно теореме Шарковского, это отношение упорядочивает циклы следующим образом (так называемый порядок Шарковского): Самым сложным в смысле Шарковского оказывается цикл периода 3. Из его существования следует существование циклов любого периода. Было также доказано, что из существования у отображения цикла периода 3 следует существование хаотических последовательностей. «Окна периодичности»

Расположение области устойчивости (окон периодичности) циклов различного периода в закритической области подчиняется следующей закономерности: 6, 5, 3, 6, 5, 6, 4, 6, 5, 6 … Наиболее широкое окно устойчивости соответствует циклу периода 3, который возникает в результате касательной бифуркации и с ростом параметра претерпевает последовательность бифуркаций удвоения периода с образованием хаоса. Аналогично возникают и эволюционируют в окнах устойчивости циклы с другими периодами. Вообще говоря, в закритической области в сколь угодно малой окрестности любого значения параметра существует окно устойчивости какого-либо цикла. Период цикла может быть столь велик, а окно устойчивости столь узко, что цикл невозможно наблюдать даже в численных экспериментах.

Если проанализировать последовательность бифуркационных значений параметра соответствующих бифуркациям удвоения, то можно увидеть, что они сходятся к некоторому пределу, который обозначим как. При = число периодических точек становится бесконечным, а за пределами этого (конечного) значения поведение итераций для большинства хаотично. Предположим, что значения k сходятся по закону геометрической прогрессии. Тогда мы можем оценить параметры сходимости, записав ее в следующем виде (52) где c и - постоянные, по величине больше 1: c, = const > 1. Так как напрямую рассчитать затруднительно, выразим для конечных k: (53) (54) (55) Вычтем (54) из (53) и (55) из (54): (56) (57) Поделим теперь (56) на (57) и получим следующее соотношение:

(58) Данное соотношение позволяет оценить из результатов расчета k. Зная, можно получить оценку для c, а затем и для. Результаты расчетов дают Таким образом, при k скорость сходимости бифуркационых значений k стремится к некоторому конечному пределу, равному = …, которая называется универсальной константой Фейгенбаума. Как показали численные исследования, величина не зависит от конкретного вида отображения. Главное, чтобы оно было унимодальным (имело один экстремум) и чтобы экстремум был квадратичным.

Структура бифуркационной диаграммы показывает, что не только бифуркационные значения параметра, но и эволюция x n также подчиняется некоторым закономерностям, образуя самоподобную структуру: если увеличить какой-либо фрагмент диаграммы, то можно увидеть, что тонкая структура этой области выглядит подобно структуре всей диаграммы. Свойство самоподобия заключается в том, что объект точно или приблизительно подобен (похож) своей части (т.е. целый объект имеет ту же форму, что одна или несколько его частей). Это свойство еще называют масштабной инвариантностью – свойство объектов выглядеть в любом, сколь угодно мелком масштабе примерно одинаково.

Универсальные константы Фейгенбаума Скорость схождения бифуркационных значений параметра к критическому значению определяется универсальной константой Фейгенбаума. Как следует из бифуркационной диаграммы, значения переменной отображения x n также демонстрируют самоподобную структуру, и их эволюция также характеризуется универсальной константой, отражающей закономерность в процессе дробления масштабов амплитуд. Чтобы определить эту константу, введем в рассмотрение значение параметра k, соответствующее суперустойчивым циклам. Заметим, что каждый 2 k – цикл логистического отображения рождается при k, имея собственное значение, равное +1, и теряет устойчивость при k+1 по мере достижения собственным значением величины -1. Таким образом, при некотором k < k < k+1 устойчивость 2 k – цикла максимальна: (59) где x i – любая точка, принадлежащая суперциклу. Данное условие означает, что хотя бы одна точка, принадлежащая суперциклу, должна лежать на экстремуме функции f(, x), где производная обращается в нуль. Для отображения (51) это точка x 1/2 : = f (x*) = 2 – = 0, производная обращается в нуль при = 2. Подставляем этой значение в выражение для координаты неподвижной точки x* = 1- 1/ и получаем суперустойчивую точку x = 1/2.

Относительно уровня суперустойчивой точки x = 0.5 определим расстояния между подобными точками ветвей бифуркационной диаграммы, соответствующих бифуркациям удвоения. На рисунке они обозначены как d k. Можно заметить, что d k располагаются попеременно то выше, то ниже линии x = 0.5. Это соответствует знакопеременности d k с ростом k. Масштабный множитель в пределе сходится к некоторому значению, которое называется универсальным масштабным множителем а. (60) Процесс дробления масштабов с ростом параметра μ продолжается бесконечно (последовательность удвоений периода) и демонстрирует универсальные свойства, которые заключаются в следующем:

Идеи теории универсальности Все наблюдавшиеся закономерности приводят к выводу, что каскад бифуркаций в логистическом отображении подчиняется некоторому закону преобразования масштабов, сходясь к какому-то универсальному виду такого преобразования. Данный универсальный характер количественных закономерностей перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода был объяснен М. Фейгенбаумом, создавшим теорию универсальности. Для анализа отображений типа логистической параболы Фейгенбаум применил метод ренормализационной группы (РГ), который состоит в следующем. Шаг 1. Перенормируем исходное отображение (51) так, чтобы бифуркация удвоения происходила при x = 0 и = 0. Это означает сдвиг начала координат в x * = 1- 1/μ путем замены переменных z = x – x *, а также использование нового параметра = - 3 (первая бифуркация удвоения происходит при = 3). С учетом того, что x* = 1- 1/, получаем (61) и новое отображение f(, z n ) выглядит следующим образом : (62)

Шаг 2. Найдем точки цикла периода 2 для отображения f(, z n ), или, что то же самое, неподвижные точки периода 1 для дважды примененного отображения f (2) (, z n ). Выберем из пары точек положительную: (63) Шаг 3. Сдвинем начало координат в точку z * 1, для чего введем очередную замену и модифицируем функцию последования так, чтобы = 0 была неподвижной точкой. Новая функция где а z * 1 дается соотношением (63). Шаг 4. После алгебраических преобразований эта новая функция может быть представлена в виде где c 1 и c 2 – функции только.

Шаг 5. Перенормируем переменную отображения так, что (64) Шаг 6. Теперь потребуем, чтобы соотношение (64) имело в точности ту же форму, что и (62), с целью определить новый параметр : (65) Решая вышеприведенные уравнения относительно и a (выражая их через ), получим: (67) (66)

Получив отображение в той же форме, но для новой координаты и нового параметра, можно повторить весь процесс ренормализации сначала. Очевидно, (в силу известных свойств логистического отображения) весь процесс сойдется к некоторым и a. Их можно оценить, используя (66) и (67): Решение дает = …, что с учетом использованного нами сдвига на 3.0 соответствует = … и что удивительно близко к уже полученной нами оценке. Итак, мы убедились в том, что относительно простая (хотя и несколько громоздкая) процедура ренормализации, основанная на идее подобия всех бифуркаций удвоения, позволяет получить значения ряда универсальных констант. Как показали эксперименты, проведенные для множества потоковых систем с фейгенбаумовским сценарием развития хаоса, масштабный множитель a и скорость сходимости бифуркационной последовательности в пределах ошибки эксперимента соответствовали значениям, полученным на основании теории Фейгенбаума для отображений с квадратичным экстремумом. Очевидно, в типичном случае отображение, порождаемое оператором эволюции потоковой системы в окрестности критической точки, близко к одномерному отображению с квадратичным экстремумом.

Каскад бифуркаций связанности За критической точкой (значение параметра 3.57, соответствующее возникновению хаотического поведения) в системах с фейгенбаумовским сценарием развития хаоса наблюдается каскад бифуркаций связанности. Бифуркация связанности представляет собой объединение частей (лент) хаотического аттрактора, посещаемых изображающей точкой в определенном порядке.

Обозначим значения параметра, соответствующие бифуркациям связанности как i c (индекс i =1,2,... возрастает с приближением к критической точке справа налево). Расположение на оси значений параметра интервалов существования периодических аттракторов 2 i (- период цикла отображения) до критической точки и 2 i – связанных хаотических множеств за критической точкой обладает симметрией относительно критической точки. Фрагменты многосвязанных хаотических множеств в соответствующих точках каждого отрезка обладают свойством подобия с масштабными множителями, стремящимися к универсальной константе a. Скорость накопления значений i c к критической точке равна универсальной константе Фейгенбаума.