М НОГОГРАННИКИ

О ПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОГРАННИКА : Многогранник – это поверхность составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело. 2

Элементы Многогранника: Грань Рёбра Вершины Диагональ - Грани (многоугольники) - Рёбра (стороны граней) - Вершины - Диагонали

Выпуклый многогранник выпуклым Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360

Невыпуклый многогранник

П РАВИЛЬНЫМ НАЗЫВАЕТСЯ МНОГОГРАННИК, У КОТОРОГО ВСЕ ГРАНИ ЯВЛЯЮТСЯ ПРАВИЛЬНЫМИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ, И ВСЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ ПРИ ВЕРШИНАХ РАВНЫ. ПРАВИЛЬНЫМИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ Приведён пример правильного многогранника (икосаэдр), его гранями являются правильные (равносторонние) треугольники.

С УЩЕСТВУЕТ ПЯТЬ ТИПОВ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ …

Правильный многогранник, у которого грани правильные треугольники и в каждой вершине сходится по три ребра и по три грани. У тетраэдра: 4 грани, четыре вершины и 6 ребер. ТЕТРАЭДР

ОКТАЭДР Правильный многогранник, у которого грани- правильные треугольники и в каждой вершине сходится по четыре ребра и по четыре грани. У октаэдра: 8 граней, 6 вершин и 12 ребер 9

ИКОСАЭДР Правильный многогранник, у которого грани - правильные треугольники и в вершине сходится по пять рёбер и граней. У икосаэдра:20 граней, 12 вершин и 30 ребер

КУБ o Правильный многогранник, у которого грани – квадраты и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. У него: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

12 Правильный многогранник, у которого грани правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. У додекаэдра:12 граней, 20 вершин и 30 ребер. ДОДЕКАЭДР

В КАЖДОЙ ВЕРШИНЕ МНОГОГРАННИКА ДОЛЖНО СХОДИТЬСЯ СТОЛЬКО ПРАВИЛЬНЫХ N – УГОЛЬНИКОВ, ЧТОБЫ СУММА ИХ УГЛОВ БЫЛА МЕНЬШЕ Т. Е ДОЛЖНА ВЫПОЛНЯТЬСЯ ФОРМУЛА βk < ( β - ГРАДУСНАЯ МЕРА УГЛА МНОГОУГОЛЬНИКА, ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ ГРАНЬЮ МНОГОГРАННИКА, k – ЧИСЛО МНОГОУГОЛЬНИКОВ, СХОДЯЩИХСЯ В ОДНОЙ ВЕРШИНЕ МНОГОГРАННИКА.) названиеβk Сумма плоских углов тетраэдр октаэдр икосаэдр гексаэдр додекаэдр

Правильный многогранник Число гранейвершинрёбер Тетраэдр446 Куб6812 Октаэдр8612 Додекаэдр Икосаэдр201230

Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г + В = Р + 2 Формула Эйлера Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. Г + В Р = 2

Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке 9. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника. Задача