Функции и их свойства Автор: Семенова Елена Юрьевна y y = f(x) 0 x МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Понятие функции Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х). y = f(x) При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией.

Область определения и множество значений функции Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент. Обозначается D(y) Множество значений (или область значений) функции – это множество всех значений переменной у. Обозначается E(y)

аналитический (с помощью формулы); графический (с помощью графика); табличный (с помощью таблицы значений); словесный (правило задания функции описывается словами). Способы задания функции:

Свойства функций: монотонность Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве Х, если для любых двух элементов из этого множества, таких, что х 1 < x 2, выполняется условие f(x 1 ) < f(x 2 ). Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух элементов из этого множества, таких, что х 1 f(x 2 ). (Функцию называют возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции) (Функцию называют убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)

Свойства функций: ограниченность Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х, если существует число m, такое, что для любого значения х Х, выполняется неравенство f(x) > m. Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х, если существует число M, такое, что для любого значения х Х, выполняется неравенство f(x) < M. Если функция ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной

Свойства функций: наибольшее и наименьшее значения функции Число m называют наименьшим значением функции y = f(x) на множестве Х, если: существует число х о Х такое, что f(х o ) = m ; для любого значения х Х выполняется неравенство f(x) f(x o ). Число М называют наибольшим значением функции y = f(x) на множестве Х, если: существует число х о Х такое, что f(х o ) = М ; для любого значения х Х выполняется неравенство f(x) f(x o ).

Свойства функций: четность или нечетность Функцию y = f(x), х Х называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = f(x). Функцию y = f(x), х Х называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f( – x) = – f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Свойства функций: точки экстремума Точку х о называют точкой максимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х о ) выполняется неравенство f(x) < f(x o ). Точку х о называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х о ) выполняется неравенство f(x) > f(x o ). Точки максимума и минимума объединяют общим названием – точки экстремума

Свойства функций: периодичность Говорят, что функция y = f(x), х Х имеет период Т, если для любого х Х выполняется равенство f(x – Т) = f(x) = f(x + T). Функцию, имеющую отличный от нуля период называют периодической. Если функция y = f(x), х Х имеет период Т, то любое число, кратное Т (т.е. число вида kT, k Z), также является ее периодом.

График функции Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости (х; у(х)), абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции. x (абсцисса) (ордината) y y = f(x) 0

Основные элементарные функции, их свойства и графики

Линейная функция y=kx+b Свойства линейной функции y = kx + b: 1.D(f) = (– ; + ). 2.E(f) = (– ; + ). 3.Если b = 0, то функция нечетная. 4.а) Нули функции: (– b/k; 0); б) точка пересечения с Оу: (0; b). 5.а) возрастает, если k > 0; б) убывает, если k < 0. 6.Не ограничена ни снизу, ни сверху. 7.Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 8.Функция непрерывна на множестве (– ; + ).

x y 0 Линейная функция y=kx+b b y = kx + b b k

Свойства функции y = k/x: 1. D(f) = (– ; 0) (0; + ). 2. E(f) = (– ; 0) (0; + ). 3.Функция нечетная. 4.а) Нули функции: нет; б) точка пересечения с Оу: нет. 4. а) если k < 0, то (– ; 0) и (0; + ) – промежутки возрастания функции; б) если k > 0, то (– ; 0) и (0; + ) – промежутки убывания функции. 5.Не ограничена ни снизу, ни сверху. 6.Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 7.Функция непрерывна на каждом из промежутков (– ; 0) и (0; + ). Обратная пропорциональность у =у = k x

0x y у =, k < 0 k x у =, k > 0 k x у =у = k x

Свойства функции y = kx 2 при k > 0: 1.D(f) = (– ; + ). 2.E(f) = [0; + ). 3.Функция четная. 4.а) Нули функции: (0; 0); б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5.а) [0; + ) – промежуток возрастания функции; б) (– ; 0] – промежуток убывания функции. 6.Ограничена снизу, не ограничена сверху. 7.а) у наим. = 0; б) у наиб. – не существует. 8.Непрерывна на множестве (– ; + ). 9.Выпукла вниз. Квадратичная функция y=kx 2

Свойства функции y = kx 2 при k < 0: 1.D(f) = (– ; + ). 2. E(f) = (– ; 0]. 3.Функция четная. 4.а) Нули функции: (0; 0); б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5.а) [0; + ) – промежуток убывания функции; б) (– ; 0] – промежуток возрастания функции. 6.Ограничена сверху, не ограничена снизу. 7.а) у наиб. = 0; б) у наим. – не существует. 8.Непрерывна на множестве (– ; + ). 9.Выпукла вверх. Квадратичная функция y=kx 2

0 x y y = kx 2, k>0 Квадратичная функция y=kx 2 y = kx 2, k

1.D(f) = [0; + ). 2.E(f) = [0; + ). 3.Функция ни четная, ни нечетная. 4.а) Нули функции: (0; 0); б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5.[0; + ) – промежуток возрастания функции. 6.Ограничена снизу, не ограничена сверху. 7.а) у наим. = 0; б) у наиб. – не существует. 8.Непрерывна на множестве [0; + ). 9.Выпукла вверх. Степенная функция y= x Свойства функции y = x:

0 x y Степенная функция y= x y = x

Свойства кубической функции y = x 3 : 1.D(f) = (– ; + ). 2.E(f) = (– ; + ). 3.Функция нечетная. 4.а) Нули функции: (0; 0); б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5.Возрастает на множестве (– ; + ). 6.Не ограничена ни снизу, ни сверху. 7.Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 8.Функция непрерывна на множестве (– ; + ). Кубическая функция y=x 3

x y 0 y = x3y = x3

1.D(f) = [0; + ). 2.E(f) = [0; + ). 3.Функция ни четная, ни нечетная. 4.а) Нули функции: (0; 0); б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5.[0; + ) – промежуток возрастания функции. 6.Ограничена снизу, не ограничена сверху. 7.а) у наим. = 0; б) у наиб. – не существует. 8.Непрерывна на множестве [0; + ). 9.Выпукла вверх. Степенная функция y= x, х 0 п Свойства функции y = x, х 0: n

0 x y Степенная функция y= x, х 0 п y = x п

1.D(f) = (– ; + ). 2.E(f) = (– ; + ). 3.Функция нечетная. 4.а) Нули функции: (0; 0); б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5.Возрастает на множестве (– ; + ). 6.Не ограничена ни снизу, ни сверху. 7.Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 8.Функция непрерывна на множестве (– ; + ). Степенная функция y= x, п п - нечетное Свойства функции y = x, n = 2k+1: n

x y 0 Степенная функция y= x, п п - нечетное y = x п