Модуль и его приложения Автор: Семёнова Елена Юрьевна МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Содержание: Понятие модуля Свойства модуля 1°– 5° Свойства модуля 6°– 10° Геометрическая интерпретация модуля Примеры Решение уравнений вида | f(x) | = a Решение уравнений вида | f(x) | = g(x) Решение уравнений вида | f ( x ) | = | g ( x ) |

Понятие модуля Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательное, и число, противоположное а, если а – отрицательное. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательное, и число, противоположное а, если а – отрицательное. |а|=|а|= |а|=|а|= а, если а 0 – а, если а < 0 а, если а 0 – а, если а < 0

Свойства модуля Свойства модуля 1° |а|=|– а| 2° | а b |=| а||b | 3°, где b 0 4° | а + b |=| а|+|b | если а 0 и b 0 5° | а|+|b |= а + b если а 0 и b 0 1° |а|=|– а| 2° | а b |=| а||b | 3°, где b 0 4° | а + b |=| а|+|b | если а 0 и b 0 5° | а|+|b |= а + b е сли а 0 и b 0 |b| |a| a a b b = =

Свойства модуля Свойства модуля 6° |а – b|=|а|+|b| если аb 0 7° |а| 2 = а 2 8° |а|–|b| 0 если а 2 – b 2 0 9° а 2 = | а| 10° |а 1 + a 2 +…+ a n | |а 1 |+|a 2 |+ +…+|a n | 6° |а – b|=|а|+|b| если аb 0 7° |а| 2 = а 2 8° |а|–|b| 0 если а 2 – b 2 0 9° а 2 = | а| 10° |а 1 + a 2 +…+ a n | |а 1 |+|a 2 |+ +…+|a n |

Геометрическая интерпретация модуля а-а 0 х |-а| |а||а| Это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число. Это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число.

Примеры Раскрыть модули: 1) 2) 5) 4) 3) 6) 7) 8) 9)

Решение уравнений вида |f(x)|= a f(x) = a f(x) = – a f(x) = a f(x) = – a Пример: |x – 8|= 5 x – 8 = 5 x – 8 = – 5 x – 8 = 5 x – 8 = – 5 x = 13 x = 3 x = 13 x = 3 Ответ: 3; 13.

|2x – 3|= 4 |5x + 6|= 7 |9 – 3x |= 6 |4x + 2|= – 1 |8 – 2x|= 0 |10x + 3|= 16 |24 – 3x|= 12 |2x + 30|= 48 |2x – 3|= 4 |5x + 6|= 7 |9 – 3x |= 6 |4x + 2|= – 1 |8 – 2x|= 0 |10x + 3|= 16 |24 – 3x|= 12 |2x + 30|= 48 Решите уравнения вида |f(x)|= a x 1 = 3,5; x 2 = – 0,5 x 1 = 0,2; x 2 = – 2,6 x 1 = 1; x 2 = 5 x Ø x = 4 x 1 = 1,3; x 2 = – 1,9 x 1 = 12; x 2 = 4 x 1 = 9; x 2 = – 39 x 1 = 3,5; x 2 = – 0,5 x 1 = 0,2; x 2 = – 2,6 x 1 = 1; x 2 = 5 x Ø x = 4 x 1 = 1,3; x 2 = – 1,9 x 1 = 12; x 2 = 4 x 1 = 9; x 2 = – 39

Решение уравнений вида | f ( x )|= g ( x ) f(х) = g(х) g(х) 0 f(х) = – g(х) g(х) 0 f(х) = g(х) g(х) 0 f(х) = – g(х) g(х) 0

Пример: | 3х – 10 | = х – 2 Ответ: 3; 4. 3x – 10 = x – 2 x – 2 0 3x – 10 = 2 – x x – 2 0 3x – 10 = x – 2 x – 2 0 3x – 10 = 2 – x x – 2 0 2x = 8 x 2 4x = 12 x 2 2x = 8 x 2 4x = 12 x 2 x = 4 x = 3 x = 4 x = 3

Решение уравнений вида | f(x) | = | g(x) | Пример: | x – 2 | = | 3 – х | х = 2,5 х Ø х = 2,5 х Ø Ответ: 2,5. f(х) = g(х) f(х) = – g(х) f(х) = g(х) f(х) = – g(х) х – 2 = 3 – х х – 2 = – 3 + х х – 2 = 3 – х х – 2 = – 3 + х 2х = 5 – 2 = – 3 2х = 5 – 2 = – 3

Решить самостоятельно: | 4x – 1 | = | 2х + 3 | 4х – 1 = 2x + 3 4х – 1 = – 2x – 3 4х – 1 = 2x + 3 4х – 1 = – 2x – 3 2х = 4 6x = – 2 2х = 4 6x = – 2 х = 2 х = – х = 2 х = – Ответ: 2; –

Решить уравнение 2 | x – 2 | – 3 | х + 4 | = х x – 2 x + 4 x < x 2 x > 2x > 2 x > 2x > 2 – – – – + + – –

Решить уравнение 2 | x – 2 | – 3 | х + 4 | = 1 x < – 4 2(– x + 2) – 3(– x – 4) =1 – 4 x 2 2(– x + 2) – 3(x + 4) =1 x > 2 2(x – 2) – 3(x + 4) =1 x < – 4 2(– x + 2) – 3(– x – 4) =1 – 4 x 2 2(– x + 2) – 3(x + 4) =1 x > 2 2(x – 2) – 3(x + 4) =1 x < – 4 x = –15 – 4 x 2 x = –1,8 x > 2 x = –17 x < – 4 x = –15 – 4 x 2 x = –1,8 x > 2 x = –17 Ответ: – 15; – 1,8.

х3х3 0 а-а Решение неравенства вида | x | а х х1х1 х2х2 – а x а х а х – а х а х – а или х4х4 Ответ: x [– а; a]

Решение неравенства вида | f(x) | а – а f(x) а Пример: | x – 5 | 7 – 7 x – – x – – 2 x 12 Ответ : [ – 2; 12]

Решите самостоятельно: |5 x + 8 | < 12 – 12 < 5x + 8 < 12 – 12 < 5x + 8 < 12 – 8 – 12 – 8 < 5x + 8 – 8 < 12 – 8 – 12 – 8 < 5x + 8 – 8 < 12 – 8 – 20 < 5x < 4 – 20 < 5x < 4 Ответ : (– 4; 0,8) Ответ : (– 4; 0,8) : 5: 5 : 5: 5 – 20 : 5 < 5x : 5 < 4 : 5 – 20 : 5 < 5x : 5 < 4 : 5 – 4 < x < 0,8 – 4 < x < 0,8

х1х1 х3х3 0 а-а Решение неравенства вида | x | а х х2х2 х4х4 х а х – а х а х – а Ответ : (– ; – a] υ [ a; + ) Ответ : (– ; – a] υ [ a; + )

Решение неравенства вида | f(x) | а Пример: | x + 4 | 6 f(x) а f(x) – а x x + 4 – 6 x 2 x – 10 Ответ : (– ; –10] U [ 2; + )

Решите самостоятельно: |10 x – 7 | > 19 10x – 7 > 19 10x – 7 < – 19 10x > 26 10x < – 12 Ответ : (– ; –1,2) U (2,6; + ) Ответ : (– ; –1,2) U (2,6; + ) x > 2,6 x < – 1,2

Примеры |2x + 8|–|x – 5|= 12 |x 2 + 3x|= 2 ( x + 1 ) |x – 6|=|x 2 – 5x + 9|

Построение графика функции y = | x | Это отображение нижней части графика функции y = x в верхнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением верхней части графика Это отображение нижней части графика функции y = x в верхнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением верхней части графика x y 0 y = x y = | x |

Построение графика функции y = | x – 3 | y = x – 3 y = | x – 3 | x 0 y

Построение графика функции y = |2 x + 1 | y = |2 x + 1 | x 0 y y = 2x + 1

x 0 y х х 4 4 х х y = | | 4 4 х х y = Построение графика функции y = | |

3-2 x < -2x < -2 x < -2x < x 3 x > 3x > 3 x > 3x > 3 – – – – + + – – x + 2 x – 3 x Построение графика функции y = |x + 2| – |x – 3|

x < – 2 у = – x – 2 + x – 3 – 2 x 3 у = x x – 3 x > 3 у = x + 2 – x + 3 x < – 2 у = – x – 2 + x – 3 – 2 x 3 у = x x – 3 x > 3 у = x + 2 – x + 3 x < – 2 у = – 5 – 2 x 3 у = 2х – 1 x > 3 у = 5 x < – 2 у = – 5 – 2 x 3 у = 2х – 1 x > 3 у = 5 Построение графика функции y = |x + 2| – |x – 3|

y у = – 5 у = 2х – 1 у = 5 y = | x + 2 | – | x – 3 | x

Построение графика функции y = |x + 1| + |x – 4| 4 x < -1x < -1 x < -1x < x 4 x > 4x > 4 x > 4x > 4 – – – – + + – – x + 1 x – 4 x

x < – 1 у = – x – 1 – x + 4 – 1 x 4 у = x + 1 – x + 4 x > 4 у = x x – 4 x < – 1 у = – x – 1 – x + 4 – 1 x 4 у = x + 1 – x + 4 x > 4 у = x x – 4 x < – 1 у = – 2х + 3 – 1 x 4 у = 5 x > 4 у = 2х – 3 x < – 1 у = – 2х + 3 – 1 x 4 у = 5 x > 4 у = 2х – 3 Построение графика функции y = |x + 1| + |x – 4|

x y у = 5 у = 2х – 3 у = – 2х + 3