Решение заданий В11 (часть 1) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года МБОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова

Найдите объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, если объем треугольной пирамиды ABDA 1 равен 3.1 Ответ: способ С1С1 В1В1 А С В D А1А1 D1D1

Найдите объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, если объем треугольной пирамиды ABDA 1 равен 3.1 Ответ: 18. С1С1 В1В1 А С В D А1А1 D1D1 2 способ

Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины. 2 Ответ: 1,5. С1С1 В1В1 А С В D А1А1 D1D1 M N Q P

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).3 Решение. Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 3, 2 и двух площадей прямоугольников со сторонами 2, 1 (выделены цветом): Ответ: S пов. = 2(4·3 + 4·2 + 3·2 – 2·1) = 48

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).4 Решение. Площадь поверхности данного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 5, 4: Ответ: S пов. = 2(4·5 + 4·4 + 4·5) = 112

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).5 Решение: Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6, 5, 1 и двух прямоугольников со сторонами 1 и 2, уменьшенной на площадь двух прямоугольников со сторонами 2 и 2: Ответ: 78. S пов. = 2(6·5 + 6·1 + 5·1 + 1·2 – 2·2) =

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).6 Решение: Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с длиной ребер 2, 3, 2 минус площади двух прямоугольников с длинами сторон 2 и 5 – 2 = 3 уменьшенной на удвоенную площадь прямоугольника со сторонами 2, 3: Ответ: 50. S пов. = 2(5·2 + 5·3 + 2·3 – 2·3) =

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).7 Решение: Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 1, 4, 7 и 2, 1, 2, уменьшенной на 4 площади прямоугольника со сторонами 2, 2 передней грани маленького параллелепипеда, излишне учтенной при расчете площадей поверхности параллелепипедов: Ответ: 78. S пов. = 2(7·4 + 7·1 + 4·1 + 1·2 + 1·2 + 2·2 – 2·2·2) =

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).8 Решение: Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 6, 6, 2 и 4, 4, 3, уменьшенной на 2 площади квадрата со сторонами 4, 4 общей для обоих параллелепипедов, излишне учтенной при расчете площадей поверхности параллелепипедов: S пов. = 2(6·6 + 6·2 + 6·2 + 4·4 + 4·3 + 4·3 – 4·4) = 168 Ответ: 168.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 3. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 262. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.9 Решение: Площадь поверхности параллелепипеда равна S пов. = 2S осн. + S бок. S осн. = ab = 3 · 1 = 3 S бок. = Р осн. · h = 2·(3 + 1) · h = 8h Имеем, 262 = 2 · 3 + 8h, откуда найдем третье ребро 8h = 262 – 6 8h = 256 h = 32 Ответ:

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 4, а высота 7.10 Решение: Площадь боковой поверхности правильной призмы равна S бок. = Р осн. · h S бок. = 6 · 4 · 7 = 168 Ответ:

Площадь поверхности куба равна Найдите его диагональ.11 Решение: Площадь поверхности куба равна S куба = 6а 2 d 2 = 3a 2 – квадрат диагонали куба d 2 = S куба /2 = 1682/2 = 841 d = 841 = 29 Ответ: 29.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 20 и 60. Площадь поверхности параллелепипеда равна Найдите его диагональ.12 Решение: Площадь поверхности параллелепипеда равна S пов. = 2S осн. + S бок. S осн. = ab = 60 · 20 = 1200 S бок. = Р осн. · h = 2·( ) · h = 160h Имеем, 4800 = 2 · h, откуда найдем третье ребро 160h = 4800 – h = 2400 h = 15 d 2 = a 2 + b 2 + c 2 d 2 = = 4225 d = 65 – диагональ параллелепипеда Ответ:

Если каждое ребро куба увеличить на 5, то его площадь поверхности увеличится на 390. Найдите ребро куба.13 Решение: Площадь поверхности куба равна S 1куба = 6а 2 Если ребро увеличить на 5, то S 2куба = 6(а + 5) 2, что на 390 больше. Откуда имеем, 6(а + 5) 2 6а 2 = 390 Поделив на 6, получим: (а + 5) 2 а 2 = 65 (а + 5 а)(а а) = 65 5(2а + 5) = 65 2а + 5 = 13 а = 4 Ответ: 4.

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным Решение: Площадь поверхности параллелепипеда равна S пов. = 2S осн. + S бок. S осн. = ½ d 1 · d 2 = ½ · 6 · 8 = 24 S бок. = Р осн. · h = 4 · 5 · 10 = 200. Где сторону основания нашли по теореме Пифагора, т.к. диагонали ромба перпендикулярны. S пов. = 2 · = 248. Ответ:

Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 18, а площадь поверхности равна Решение: Площадь поверхности параллелепипеда равна S пов. = 2S осн. + S бок. S осн. = а 2 = 18 2 = 324 S бок. = Р осн. · h = 4 · 18 · h = 72h = 2 · h Откуда, 72h = 1368 – 648 h = 10. Ответ:

Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 98, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы Решение: Площадь боковых граней отсеченной призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной. S бок. = 98/2 = 49. Ответ: 49.

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 48, боковые ребра равны 25. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.15 Решение: Площадь поверхности пирамиды равна S пов. = S осн. + S бок. S осн. = а 2 = 14 2 = 196 S бок. = ½ Р осн. · l = ½ · 4 · 14 · l = 28 · l. l – апофема (высота боковой грани SK), которую найдем из п/у SKC по теореме Пифагора l 2 = SK 2 = SC 2 – CK 2 = 25 2 – (½ · 14) 2 l 2 = 576 l = 24 S пов. = · 24 = 868. Ответ: С В D А S K

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,6 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба Решение: Площадь поверхности получившегося многогранника равна сумме площадей боковых граней куба со стороной 1 и призмы со сторонами 1; 0,6; 0,6 и 2 площади основания куба с вырезанными основаниями призмы: Ответ: 7, ,6 S = 4 · 1 · 1 + 4(0,6 · 1) + + 2(1 · 1 – 0,6 · 0,6) = 7,68

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12, 16 и 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.17 Решение: Равновеликие тела имеют равные объемы V пар-да = аbc = 9 · 12 · 16 = 1728 V куба = а 3 = 1728 a = 12. Ответ:

Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в 12 раз?18 Решение: Площадь поверхности куба равна S 1куба = 6а 2 Если ребро увеличить в 12 раз, то S 2куба = 6(12 · а) 2 = 6 · 144 · а 2. Откуда имеем, S 2куба / S 1куба = (6 · 144 · а 2 )/(6 · а 2 ) S 2куба / S 1куба = 144. Ответ: 144.

В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 13 и отстоит от других боковых ребер на 12 и 5. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.19 Решение: Площадь боковой поверхности призмы равна S бок. = Р · l, где l – длина бокового ребра, а Р – площадь перпендикулярного сечения призмы (п/у со сторонами 15, 36 и 39) S бок. = ( )· 13 = 390. Ответ:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 24. Площадь ее поверхности равна Найдите высоту призмы.20 Ответ: Решение: Площадь поверхности призмы равна S пов. = 2S осн. + S бок. S осн. = ½ ab = ½ · 10 · 24 = 120 S бок. = Р осн. · h = ( ) · h = 60h Гипотенузу п/у находим по теореме Пифагора, она рана 26. Имеем, 1680 = 2 · h, откуда найдем высоту призмы 60h = 1680 – h = 1440 h =

Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.21 Ответ: 30. Решение: Площадь поверхности креста равна площади поверхности 6-ти кубов, у которых отсутствует одна из шести граней. Имеем, S пов. = 6S куба – 6а 2 = 6 · 6 · а 2 – 6а 2 S пов. = 36 – 6 = 30.

Ребра тетраэдра равны 12. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер Решение: Данное сечение – квадрат, т.к. каждая сторона является средней линией соответствующей грани, которая, в 2 раза меньше параллельной ей стороны и равна поэтому ½ · 12 = 6. Стороны сечения перпендикулярны, т.к. они параллельны соответственно двум скрещивающимся перпендикулярным ребрам тетраэдра. Тогда площадь сечения равна S сеч. = а 2 = 6 2 = 36. Ответ: 36.

Площадь поверхности тетраэдра равна 3. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.23 Решение. Искомая поверхность состоит из 8 равносторонних треугольников со стороной, площадь которого в 4 раза меньше площади одной грани тетраэдра. Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников, поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 1,5. Ответ: 1,5.

Используемые материалы Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года