Численное моделирование эффективных электростатических характеристик многоуровневых иерархических структур Димитриенко Ю.И., проф. д.ф.-м.н., зав. каф.ФН-11 (МГТУ им. Н.Э.Баумана) Соколов А.П., доцент, к.ф.-м.н., кафедра ФН-11 (МГТУ им. Н.Э.Баумана) Маркевич М.Н., аспирантка 1-го года обучения, кафедра ФН-11 (МГТУ им. Н.Э.Баумана)

Цель исследования Построение математической модели эффективных диэлектрических характеристик композитов с периодической структурой армирования на базе метода асимптотического осреднения и метода многоуровневой асимптотической гомогенизации Построение математической модели эффективных диэлектрических характеристик композитов с периодической структурой армирования на базе метода асимптотического осреднения и метода многоуровневой асимптотической гомогенизации

Задачи исследования Построить математическую модель эффективных диэлектрических характеристик композитов с периодической многоуровневой структурой армирования Построить математическую модель эффективных диэлектрических характеристик композитов с периодической многоуровневой структурой армирования Разработать численный конечно-элементный метод расчета эффективных диэлектрических характеристик композитов (ЭДЭХ) Разработать численный конечно-элементный метод расчета эффективных диэлектрических характеристик композитов (ЭДЭХ) Провести численный эксперимент по воздействию электростатического поля на композит с последующей верификацией результатов Провести численный эксперимент по воздействию электростатического поля на композит с последующей верификацией результатов Реализовать и интегрировать новый численный метод расчета в существующую вычислительную среду на языке С++ Реализовать и интегрировать новый численный метод расчета в существующую вычислительную среду на языке С++

Предмет исследования Дисперсно-армированные композиционные материалы (ДАКМ) Диэлектрические свойства ДАКМ находят применение в изоляторах емкостных накопителей энергии, работающих на импульсном напряжении. Ставится задача: определить свойства ДАКМ: эффективные тензоры диэлектрической проницаемости. Даны: характеристики и геометрия (концентрация гранул) составляющих ДАКМ компонент.

Формулировка математической модели ЭДЭХ КМ на одном структурном уровне Постановка общей задачи электростатики Определение малого параметра на данном уровне Запись асимптотического решения по малому параметру Постановка локальных и осредненных задач Сведение локальных задач и к серии более простых задач Lp Решение серии задач Lp с помощью МКЭ Вычисление тензора эффективной диэлектрической проницаемости Верификация результата: с использованием теоретических оценок и экспериментальных данных

Построение математической модели Система уравнений электростатики (частный случай уравнений Максвелла) Условия идеального контакта: Граничные условия: - условие потенциальности электростатического поля, - условие потенциальности электростатического поля, - определяющие соотношения: линейная зависимость электрич. смещения и вектора напряженности электрического поля - определение потенциала векторного поля электрической напряженности

Модель электростатики Построение математической модели - тензор диэлектрической проницаемости, представленный в виде матрицы в трехмерном случае (несимметричный)

Асимптотическое разложение по малому параметру k: Общий вид решения

Постановка локальной задачи - входные параметры, -неизвестные.

Решение локальной задачи искалось в виде сумм - псевдопотенциал. Напряженность: не являются периодическими. Приведение локальных задач к классическому типу

Формулировка задач на 1/8 «ячейки периодичности» Граничные условия имеют вид

Расчет тензора эффективной диэлектрической проницаемости После решения серии L p задач можем определить эффективные характеристики композита: где Связь осредненного вектора индукции и вектора напряженности :

Численный метод решения задач L p Сформулирована вариационная формулировка задачи В качестве численного метода используется метод конечных элементов в трехмерной постановке В качестве конечного элемента используется 4х узловой тетраэдр с линейными аппроксимирующими функциями формы Для решения разрешающей СЛАУ используется метод бисопряженных градиентов

Программная реализация численного метода решения задач L p Реализация осуществляется на базе программной платформы GCD В связи с несимметричностью разрешающей СЛАУ использовался метод бисопряженных градиентов В связи с симметричным портретом СЛАУ использовался метод хранения CSR Реализован новый загрузчик граничных условий и свойств материалов Язык программирования С++

Выводы Разработана математическая модель эффективных диэлектрических характеристик композиционных материалов на базе метода асимптотического осреднения Построен численный метод на базе метода конечных элементов.

Спасибо за внимание!