Основы теории управления Линеаризация дифференциальных уравнений

Математическое описание элементов и систем управления Математическое описание устанавливает связь во времени между текущими выходными y(t) и входными x(t) величинами система y(t) x(t) Это выход Это вход Входное воздействи е Выходное воздействие

Динамика элемента – поведение его координат во времени описывается дифференциальными уравнениями Динамика элемента – характеризуется переходным процессом

При t, координаты y(t) и x(t) принимают постоянные установившиеся значения Это статика элемента. x()=x 0 =const; y()=y 0 =const Эти параметры называют установившимися, а процесс соответствующий статике, называют установившимся процессом Статика наступает, когда -Теоретически при t -Практически при |x-x 0 |

Система Это элемент системы Это элемент системы Система – это целенаправленное множество взаимосвязных элементов любой природы

Линеаризация дифференциальных уравнений Пусть существует нелинейная зависимость Нелинейное уравнение Линейное уравнение Изобразим y(t) графически

Линеаризация дифференциальных уравнений y x Это рабочая точка x0x0 y0y0 ΔxΔx ΔyΔy ΔxΔx ΔyΔy Геометрический смысл линеаризации: Замена кривой на касательную к ней прямую в рабочей точке

Составим уравнение элемента системы элемент x(t) f(t) y(t) Получим динамическое уравнение произвольного нелинейного типа

(1.1) Выберем произвольно рабочую точку, тогда установившиеся значения переменных y, x, f - Для текущих координат тогда запишем Где отклонения от положения равновесия из (1.1) получим уравнение статики элемента (1.2)

для линеаризации (1.2) разложим его в ряд Тейлора Рядом Тейлора называют ряд функции y(x) следующего вида

Применим (1.1) к ряду Тейлора получим (1.3) где R – остаток ряда Вычтем из (1.3) – (1.2) (1.4)

Сравним уравнения (1.1) и (1.4) (1.1) 1.Точное уравнение 2.Уравнение относительно y, x, f 3.Уравнение нелинейное (1.4) 1.Уравнение приближенное 2.Уравнение относительно отклонений от т.(x 0,y 0 ) 3.Линейное уравнение 4.При изменении т. (x 0,y 0 ), изменятся все угловые коэффициенты