Основы теории управления Формы записи линеаризованных уравнений

В общем виде линеаризованное дифференциальное уравнение, описывающее элемент, можно записать следующим образом где y(t), x(t), f(t) - выходная и входная величины элемента и внешнее воздействие; ai, bi, ci - постоянные коэффициенты; n - порядок уравнения, ( n m,k ) (1.5)

Введем алгебраизированный символ дифференцирования Заменим в (1.5) дифференциал на р, а y(t) вынесем за скобку (a 0 p n + a 1 p n -1 +…+a n-1 p+a n ) y(t) = = (b 0 p m +b 1 p m-1 +…+b m ) x(t) + (c 0 p k +c 1 p k-1 +…+c k ) f(t) (1.6) В общем случае в соответствии с (1.6) уравнение элемента можно представить в форме D(p) y(t) = N(p) x(t) + M(p) f(t) (1.7) полиномы степени n, m, k от символа дифференцирования p

Первая стандартная форма записи Чтобы привести уравнение (1.6) к такому виду, разделим левую и правую его части на a n и получим выходная величина и ее производные Дифференциальное уравнение имеет вид входные величины и все остальные члены слева справа = выходная величина y(t) должна иметь коэффициент равный единице (a 0 p n + a 1 p n -1 +…+a n-1 p+a n ) y(t) = = (b 0 p m +b 1 p m-1 +…+b m ) x(t) + (c 0 p k +c 1 p k-1 +…+c k ) f(t)

Тn, Тn-1,…, Т1 называются постоянными времени, они имеют размерность времени [с] и характеризуют инерционные свойства элемента; k1k1, …, k m+1 k m+2, …, k m+k+2 коэффициенты передачи

Вторая стандартная форма записи операторный метод или метод Лапласа решение дифференциальных уравнений сводится к алгебраическим действиям 1.вместо реальных функций времени записать их изображения по Лапласу в дифференциальном уравнении 2.в полиномах символ дифференцирования p заменить на оператор Лапласа s

Применив к дифференциальному уравнению (1.7) преобразование Лапласа, получим D(s) Y(s) = N(s) X(s) + M(s) F(s) (1.9) где s – оператор Лапласа; Y(s), X(s), F(s) - изображения по Лапласу выходной и входной величин элемента и внешнего воздействия полиномы степени n, m, k от оператора Лапласа s.

Оператор Лапласа s представляет собой комплексную величину s=c+j c=Re s - абсцисса абсолютной сходимости =Im s –угловая частота, имеющая размерность [рад/с]

Для перехода от реальных функций времени - оригиналов к их изображениям по Лапласу и наоборот вводят Прямое интегральные преобразование Обратное интегральные преобразования

D(p) y(t) = N(p) x(t) + M(p) f(t)D(s) Y(s) = N(s) X(s) + M(s) F(s) (1.7)(1.9) дифференциальное уравнение реальных функций времени Алгебраическое уравнение изображений функций времени по Лапласу (1.9) принимает вид второй стандартной записи передаточные функции Обозначим Y(s) = Wx(s) X(s) + W f (s) F(s)

Если f(t) = 0, то F(s) = 0 и тогда - передаточная функция элемента по входу Х Eсли x(t)=0, то X(s)=0 и тогда - передаточная функция элемента по входу F

элемент x(t) f(t) y(t)