Лекция 13 Волны 08/05/2012 Алексей Викторович Гуденко

План лекции Волновое уравнение Упругие волны. Колебания струны. Скорость распространения волн. Энергия волны. Звук. Скорость звука в газах. Эффект Доплера

Волны. Основные определения. Волна – это возмущение, распространяющееся в среде (или в вакууме), несущие энергию. Перенос энергии происходит без переноса вещества. Основные виды волн: упругие, поверхностные, электромагнитные. Импульс – одиночная волна Цуг волн – ряд повторяющихся возмущений Гармоническая волна – синусоидальная волна. вдоль Продольные волны – частицы среды колеблются вдоль направления распространения поперёк Поперечные волны – частицы среды колеблются поперёк направлению распространения

Волны. Основные определения. Фронт волны (волновой фронт) – геометрическое место точек, до которых возмущение доходит к моменту времени t. Волновая поверхность - геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за время одного периода колебаний: λ = vT

Уравнение плоской гармонической волны x(z,t) = Acos(ω(t – z/v)) = Acos(ωt – kz) – уравнение гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении z ω = 2π/T – циклическая частота k = 2π/λ – волновое число v = ω/k – фазовая скорость x(z,t) = Ae -γz cos(ωt – kz) γ – коэфиициент затухания (1/м) x(r,t) = (A/r)cos(ωt – kr) – сферическая волна

Волновое уравнение. Скорость упругих волн в тонком стержне 2 x/t 2 = v 2 2 x/z 2 общее решение волнового уравнения: x = x(t – z/v) + x(t + z/v) Относительная деформация ε = x/z Закон Гука σ = Eε Закон Ньютона для участка стержня Δz: Δm 2 x/t 2 = F ρSΔz 2 x/t 2 = (σ(z + Δz) - σ(z))S = ESε/z 2 x/t 2 = (E/ρ) 2 x/z 2 v = (E/ρ) 1/2

Численные примеры (сталь) Модуль Юнга: E 0 = Н/м 2 = 2 Мбар; коэффициент Пуассона μ = 0,3; плотность ρ = 7,8 г/см 3 v = (E 0 /ρ) 1/2 = 5064 м/с (табл. v = 5150 м/с) В толстом стержне: Модуль одностороннего сжатия E = E 0 (1 – μ)/(1 + μ)(1 - 2μ) = 1,35E 0 v II = (E/ρ) 1/2 = (1,35) 1/2 v = 5884 м/с (табл. v = 5900 м/с) Поперечный звук: v = (G/ρ) 1/2, G = E 0 /2(1 + μ) = E 0 /2,6 – модуль сдвига v = v/(2,6) 1/2 = 3140 м/с (табл. v = 3100 м/с)

Численные примеры (алюминий) Модуль Юнга: E 0 = 0, Н/м 2 = 0,705 Мбар; коэффициент Пуассона μ = 0,345; плотность ρ = 2,7 г/см 3 скорость звука в тонком стержне v = (E 0 /ρ) 1/2 = 5110 м/с (табл. v = 5240 м/с (2,5%)) В толстом стержне: Модуль одностороннего сжатия E = E 0 (1 – μ)/(1 + μ)(1 - 2μ) = 1,57E 0 v II = (E/ρ) 1/2 = (1,57) 1/2 v = 6403 м/с (табл. v = 6400 м/с) Поперечный звук: v = (G/ρ) 1/2, G = E 0 /2(1 + μ) = E 0 /2,69 – модуль сдвига v = v/(2,69) 1/2 = 3115 м/с (табл. v = 3100 м/с)

Скорость звука в жидкостях и газах В газе Δz/z = ΔV/V = Δp/Е модуль упругости в жидкости E = dp/(dV/V) = dp/(dρ/ρ) коэффициент всестороннего сжатия. Скорость звука в жидкости v = (dp/dρ) 1/2 Избыточное давление Δp = Eε = Eερ/ρ = ρuv

Численные примеры (вода, воздух) v = (dp/dρ) 1/2 Вода: v = (K/ρ) 1/2 K = Vdp/dV - модуль всестороннего сжатия воды: К = dp/(dV/V) = 2, Н/м 2 v = (K/ρ) 1/2 = 1463 м/с (табл. v = 1484 м/с (1,3%)) Воздух: изотермический звук: v T = (dp/dρ) 1/2 = (p/ρ) 1/2 = 280 м/с Адиабатический звук: v = (γp/ρ) 1/2 = (1,4) 1/2 v T = 330 м/с

Скорость волны в гибком шнуре. Струна v = (T/ρ l ) 1/2 – скорость распространения упругих волн небольшой амплитуды в натянутой струне; T – натяжение струны ρ l – погонная плотность Вывод: ρ l Δz 2 x/t 2 = T(sinα(z+Δz) - (sinα(z)) 2 x/t 2 = (T/ρ l ) 2 x/z 2

Энергия упругой волны. Амплитуда давления в звуковой волне. Плотность кинетическая энергии: w k = ρu 2 /2 = ρx 2 /2 = ½ ρA 2 ω 2 sin 2 (ωt – kz) Плотность упругой энергии: w П = Eε 2 /2 = ½ ρA 2 ω 2 sin 2 (ωt – kz) Полная энергия w = w k + w П = ρx 2 /2 + Eε 2 /2 = ρA 2 ω 2 sin 2 (ωt – kz) Для гармонической волны: = ½ ρA 2 ω 2 = Поток энергии, или интенсивность: I = ½ ρA 2 ω 2 v I = 2 v = (Eε m 2 /2) v = (Δp) 2 /2vρ Δp = (2Iρv) 1/2

Порог слышимости. Болевой порог. Кавитация. Порог слышимости: I 0 = Вт/м 2 Δp = (2I 0 ρv) 1/2 = Па – избыточное давление на пороге слышимости Болевой порог: I = I 0 (120 децибелл) Δp = (2Iρv) 1/2 = 30 Па = 0,3 г/см 2 Кавитация: ультразвук f = 5 Мгц I = 10 Вт/см 2 Δp = (2Iρv) 1/2 = ( , ) 1/2 = 6 атм. Градиенты давления: Δp/(½λ) = 400 атм/см (λ = 0,3 мм)

Вынужденные колебания. Векторные диаграммы. Резонанс. mx + βv + kx = Fcosωt x + 2γx + ω 0 2 x = fcos ωt, f = F/m Вынужденные колебания ищем в виде: x = Bcos(ωt – φ) Векторная диаграмма: x = Acos (ωt + φ 0 ) проекция на ось OX радиус-вектора длиной A,вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω от начального положения φ 0

Вынужденные колебания. Векторные диаграммы. Резонанс. Из векторной диаграммы: – амплитуда B = f/(( ω 2 – ω 0 2 )) + 4 γ 2 ω 2 ) 1/2 – Фаза tg φ = 2 γ ω /( ω 0 2 – ω 2 ) В резонансе (при малых γ) B max B(ω 0 ) = f/2 γ ω 0 B max /B стат = ω 0 /2 γ = Q Вблизи резонанса: B = B max γ/(( ω – ω 0 ) 2 + γ 2 ) 1/2 ширина резонансной кривой Δ ω = 2 γ

Параметрический резонанс Параметрический резонанс - возбуждение незатухающих колебаний периодическим изменением параметров колебательной системы Пример: маятник с изменяющейся длиной (качели) 1. Работа против тяжести: A 1 = mgΔh(1 - cos φ 0 ) ½ mgΔh φ 0 2 = ½ mv 0 2 Δh/L Работа против центробежной силы: A 2 = mv 0 2 Δh /L приращение энергии за период: ΔE = 2(A 1 + A 2 ) = 6 Δh /L mv 0 2 /2 dE/dt = 6 Δh /L E/T = E/ τ E = E 0 e t/ τ