Об одном методе построения разностных схем для уравнений МГД в условиях сильного фонового магнитного поля и гравитационной правой части Кафедра вычислительной математики МФТИ Васильев М.О.

Постановка задачи Решаются уравнения идеальной МГД, дополненные гравитационной правой частью В качестве начальных условий рассматриваются условия в ионосферной плазме Земли на средних широтах, вдали от экваториальных и полярных областей на высотах свыше 200 км. На фон невозмущенной ионосферы накладывается картина «идеального» взрыва – сферической области, в которой скорость пропорциональна расстоянию до центра, температура повышенная (по сравнению с окружающей средой).

Модификация метода Годунова Для построения метода, стационарного на пространственно- неоднородных стационарных решениях уравнений МГД необходимо научиться отличать различные осреднения переменных и их значения в точках. Для построения метода, стационарного на пространственно- неоднородных стационарных решениях уравнений МГД необходимо научиться отличать различные осреднения переменных и их значения в точках. Значение в точке Осреднение по пространственной ячейке Осреднение по плоскому сечению пространственной ячейки плоскостью xy

Модификация метода Годунова Таким образом Метод Годунова должен быть дополнен эмпирически обоснованными методами пересчета всех необходимых величин Таким образом Метод Годунова должен быть дополнен эмпирически обоснованными методами пересчета всех необходимых величин Обратим внимание, что под мы понимаем значение функции U в точке (m+1/2,l,k), полученное по значению в точке (m+1,l,k)

Модификация метода Годунова В классическом методе Годунова значение осреднения сеточной функции по ячейке полагается равным ее значению в любой точке этой ячейки. В классическом методе Годунова значение осреднения сеточной функции по ячейке полагается равным ее значению в любой точке этой ячейки. Применение такого подхода в задачах с нулевой правой частью и пространственно-однородным «фоном» вполне оправдано – оно позволяет получать численные решения, заметно изменяющиеся только в областях возмущения фона. Применение такого подхода в задачах с нулевой правой частью и пространственно-однородным «фоном» вполне оправдано – оно позволяет получать численные решения, заметно изменяющиеся только в областях возмущения фона. В задачах с ненулевой правой частью для достижения аналогичного поведения решения оказывается, что необходимо учитывать распределение значений сеточных функций в пределах ячейки В задачах с ненулевой правой частью для достижения аналогичного поведения решения оказывается, что необходимо учитывать распределение значений сеточных функций в пределах ячейки Это распределение может быть получено из условия стационарности течения в пределах ячейки Это распределение может быть получено из условия стационарности течения в пределах ячейки

Граничные условия В качестве граничных условий были выбраны неотражающие на малых возмущениях условия, основанные на сеточно- характеристическом методе для полной системы МГД- уравнений в неконсервативной форме В качестве граничных условий были выбраны неотражающие на малых возмущениях условия, основанные на сеточно- характеристическом методе для полной системы МГД- уравнений в неконсервативной форме

Модификация метода Годунова Для магнитного поля, в отличие от газодинамических величин, нужен подход, кроме всего вышеизложенного, учитывающий отсутствие магнитных зарядов Для магнитного поля, в отличие от газодинамических величин, нужен подход, кроме всего вышеизложенного, учитывающий отсутствие магнитных зарядов Оказывается, что такой подход может быть построен, если для магнитного поля говорить не об осреднениях его компонент по объему ячейки, а об их осреднениях по перпендикулярным к соответствующим осям центральным сечениям ячейки. Оказывается, что такой подход может быть построен, если для магнитного поля говорить не об осреднениях его компонент по объему ячейки, а об их осреднениях по перпендикулярным к соответствующим осям центральным сечениям ячейки. Соответственно, если алгоритм устроен так, что в двух соседних ячейках одновременно в разные стороны меняется осреднение B по сечению, полный поток магнитного поля остается постоянным, и магнитного заряда не образуется. Соответственно, если алгоритм устроен так, что в двух соседних ячейках одновременно в разные стороны меняется осреднение B по сечению, полный поток магнитного поля остается постоянным, и магнитного заряда не образуется. x y z

Модификация метода Годунова Если для газовой динамики естественной аппроксимацией плотности и давления в пределах ячейки является распределение Больцмана, то для магнитного поля нет настолько же удобного универсального подхода. Если для газовой динамики естественной аппроксимацией плотности и давления в пределах ячейки является распределение Больцмана, то для магнитного поля нет настолько же удобного универсального подхода. В данной задаче естественной аппроксимацией поля является дипольное приближение с диполем в центре Земли. В данной задаче естественной аппроксимацией поля является дипольное приближение с диполем в центре Земли. Для такого поля с точностью до любого порядка можно получить связь между значением поля в точке, N-ными производными поля в точке и потоками поля через площадку. Более того, связь между значением поля в любой точке ячейки и значением поля в центре будет линейной Для такого поля с точностью до любого порядка можно получить связь между значением поля в точке, N-ными производными поля в точке и потоками поля через площадку. Более того, связь между значением поля в любой точке ячейки и значением поля в центре будет линейной

Алгоритм Численный алгоритм устроен следующим образом: Численный алгоритм устроен следующим образом: В памяти хранятся осреднения по ячейке от v и ГД-части полной энергии сложенной с магнитной энергией в центре ячейки и компоненты магнитного поля в центре ячейки. В памяти хранятся осреднения по ячейке от v и ГД-части полной энергии сложенной с магнитной энергией в центре ячейки и компоненты магнитного поля в центре ячейки. На каждом временном шаге по этим значениям с учетом выбранной модели рассчитываются значения на границах ячейки. На каждом временном шаге по этим значениям с учетом выбранной модели рассчитываются значения на границах ячейки. По значениям на границах ячеек находятся (как решения задачи Римана) значения потоков. По значениям на границах ячеек находятся (как решения задачи Римана) значения потоков. По значению магнитного поля в центре находится осреднение поля по сечениям По значению магнитного поля в центре находится осреднение поля по сечениям Над осреднениями производится временной шаг Над осреднениями производится временной шаг Осреднение поля пересчитывается обратно в поле в центре ячейки Осреднение поля пересчитывается обратно в поле в центре ячейки

AMR-версия Для построения версии кода, работающей на адаптивных иерархических сетках пришлось перейти от сеток 2x2x2 к сеткам 3x3x3, так как для бездивергентности схемы необходимо, чтобы у крупных ячеек всегда находились более мелкие соседи, у которых поле осреднено по той же плоскости. Для построения версии кода, работающей на адаптивных иерархических сетках пришлось перейти от сеток 2x2x2 к сеткам 3x3x3, так как для бездивергентности схемы необходимо, чтобы у крупных ячеек всегда находились более мелкие соседи, у которых поле осреднено по той же плоскости.

Результаты Для взрыва на высоте H=400км с начальной скоростью разлета плазмы V0=70км/с и взрыва радиусом R0=41км получены следующие результаты: Для взрыва на высоте H=400км с начальной скоростью разлета плазмы V0=70км/с и взрыва радиусом R0=41км получены следующие результаты: