ТЕМА 3. Моделирование сферы производства 3.1. Моделирование производственной сферы: основные понятия Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат Основные виды производственных функций Производственные функции и выбор оптимальной технологии Моделирование производственной сферы: основные понятия Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат Основные виды производственных функций Производственные функции и выбор оптимальной технологии.

3.1. Моделирование производственной сферы: основные понятия

Производственная функция y = f(X), X = (x 1,..., x m ) Характеризует зависимость «затраты- выпуск», то есть максимально возможный объем выпуска продукта, который можно получить при использовании разнообразных ресурсов (факторов производства). Производственная функция y = f(X), X = (x 1,..., x m ) Характеризует зависимость «затраты- выпуск», то есть максимально возможный объем выпуска продукта, который можно получить при использовании разнообразных ресурсов (факторов производства).

Изокванта - множество точек, удовлетворяющих уравнению постоянного выпуска f(X) = q. Свойства изоквант: они никогда не пересекаются друг с другом; большему выпуску продукции соответствует более удаленная от начала координат изокванта; если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с осями координат. Изокванта - множество точек, удовлетворяющих уравнению постоянного выпуска f(X) = q. Свойства изоквант: они никогда не пересекаются друг с другом; большему выпуску продукции соответствует более удаленная от начала координат изокванта; если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с осями координат. Основные характеристики системы: 3. Структура. Изокванты

1.Средняя эффективность использования ресурса i. 1.Средняя эффективность использования ресурса i. Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ и основные характеристики технологии

2. Предельная эффективность использования ресурса i. Величина MP i 0 показывает прирост выпуска продукта при увеличении затрат ресурса i на малую единицу. Если < 0, это означает, что предельная эффективность ресурса i падает. 2. Предельная эффективность использования ресурса i. Величина MP i 0 показывает прирост выпуска продукта при увеличении затрат ресурса i на малую единицу. Если < 0, это означает, что предельная эффективность ресурса i падает. Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ и основные характеристики технологии

Типы производственных функций 1.По количеству учитываемых факторов: -однофакторная ПФ: y = f (x); -многофакторная ПФ: y = f(x 1,…, x m ). 2. По характеру взаимосвязи факторов: - производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами; -производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами. 3.По способу отражения фактора времени: -статические; -динамические. 4. По используемому математическому аппарату. 1.По количеству учитываемых факторов: -однофакторная ПФ: y = f (x); -многофакторная ПФ: y = f(x 1,…, x m ). 2. По характеру взаимосвязи факторов: - производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами; -производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами. 3.По способу отражения фактора времени: -статические; -динамические. 4. По используемому математическому аппарату.

Функция x i = φ i (Y) называется функцией производственных затрат ресурса i от объемов выпуска разнообразных продуктов. В экономическом анализе чаще всего применяются функции затрат на производство одного продукта: x ij = φ ij (y j ) Функции производственных затрат могут быть представлены как функции, обратные производственным функциям с взаимодополняемыми ресурсами. Функция x i = φ i (Y) называется функцией производственных затрат ресурса i от объемов выпуска разнообразных продуктов. В экономическом анализе чаще всего применяются функции затрат на производство одного продукта: x ij = φ ij (y j ) Функции производственных затрат могут быть представлены как функции, обратные производственным функциям с взаимодополняемыми ресурсами. Основные характеристики системы: 2. Функция и цель. Функция производственных затрат

3.2. Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами

Взаимозаменяемость ресурсов в производственной функции у = f(X) означает, что один и тот же объем выпуска продукции может быть получен при разных комбинациях ресурсов. Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: общие свойства

Изокванты и изоклинали производственной функции Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

3. Эквивалентная замена ресурсов. Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точке Х°: или: Для двух ресурсов: 3. Эквивалентная замена ресурсов. Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точке Х°: или: Для двух ресурсов: Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

3. Эквивалентная замена ресурсов. Предельная норма эквивалентной замены ресурсов k и l: Изоклинали – кривые, отображающие комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены одинаковы. 3. Эквивалентная замена ресурсов. Предельная норма эквивалентной замены ресурсов k и l: Изоклинали – кривые, отображающие комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены одинаковы. Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

4. Эластичность выпуска. Коэффициент эластичности выпуска от затрат ресурса i показывает, на сколько процентов увеличится выпуск продукта при увеличении затрат i-того ресурса на 1% и при неизменных затратах других ресурсов: 4. Эластичность выпуска. Коэффициент эластичности выпуска от затрат ресурса i показывает, на сколько процентов увеличится выпуск продукта при увеличении затрат i-того ресурса на 1% и при неизменных затратах других ресурсов: Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

4. Эластичность выпуска. или для некоторых интервалов изменения компонент вектора X 0 : 4. Эластичность выпуска. или для некоторых интервалов изменения компонент вектора X 0 : Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

5. Эластичность взаимозамены ресурсов. Коэффициент эластичности взаимозамены ресурсов показывает, на сколько изменится соотношение затрат ресурсов факторов производства при изменении предельной нормы их взаимозамены на 1% при сохранении объема производства. Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. 5. Эластичность взаимозамены ресурсов. Коэффициент эластичности взаимозамены ресурсов показывает, на сколько изменится соотношение затрат ресурсов факторов производства при изменении предельной нормы их взаимозамены на 1% при сохранении объема производства. Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

Эластичность взаимозамены ресурсов Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

3.3. Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат.

Общий вид ПФ с взаимодополняемыми ресурсами где f s (x s ) - объем производства, который может быть получен при использовании s-ro ресурса в количестве x s при условии, что другие ресурсы имеются в достаточном количестве. Максимальный объем производства определяется «узким местом», т.е. количеством такого ресурса, который обеспечивает наименьший объем производства.

Изокванты ПФ с взаимодополняемыми ресурсами

Функции производственных затрат x s =φ s (y), (s M) φ s (y) это минимальное количество ресурса s, которое нужно затратить для выпуска продукта в количестве у. Основные характеристики: cредние затраты s-ro ресурса: q s = x s /y; предельные затраты s-ro ресурса: h s = dx s /dy; характеризуют прирост затрат ресурса s при увеличении выпуска продукции на малую единицу. Соотношения между средними и предельными затратами зависят от свойств функции х = φ(y). x s =φ s (y), (s M) φ s (y) это минимальное количество ресурса s, которое нужно затратить для выпуска продукта в количестве у. Основные характеристики: cредние затраты s-ro ресурса: q s = x s /y; предельные затраты s-ro ресурса: h s = dx s /dy; характеризуют прирост затрат ресурса s при увеличении выпуска продукции на малую единицу. Соотношения между средними и предельными затратами зависят от свойств функции х = φ(y).

Общие свойства системы 1. Линейная однородная функция: x = ay; a > 0. Средние и предельные затраты функции постоянны и равны между собой: g = h = a. 2. Линейная неоднородная функция: x = ay +b, где а > 0 и b > 0. Средние затраты g = a + b/y являются убывающей нелинейной функцией (гиперболой), асимптотически приближающейся к постоянным предельным затратам h = а. 1. Линейная однородная функция: x = ay; a > 0. Средние и предельные затраты функции постоянны и равны между собой: g = h = a. 2. Линейная неоднородная функция: x = ay +b, где а > 0 и b > 0. Средние затраты g = a + b/y являются убывающей нелинейной функцией (гиперболой), асимптотически приближающейся к постоянным предельным затратам h = а. Типовые функции производственных затрат

Общие свойства системы Типовые функции производственных затрат

3. Нелинейная функция возрастающей эффективности затрат: Средние и предельные затраты - убывающие функции, причем предельные затраты всегда ниже средних. Пример функции: х = ау а при 0 < а < Нелинейная функция падающей эффективности затрат: Средние и предельные затраты увеличиваются, причем предельные затраты выше средних. Пример: х = ау а при а> 1 3. Нелинейная функция возрастающей эффективности затрат: Средние и предельные затраты - убывающие функции, причем предельные затраты всегда ниже средних. Пример функции: х = ау а при 0 < а < Нелинейная функция падающей эффективности затрат: Средние и предельные затраты увеличиваются, причем предельные затраты выше средних. Пример: х = ау а при а> 1 Общие свойства системы Типовые функции производственных затрат

3. 4. Общие свойства системы Типовые функции производственных затрат

3.4. Основные виды производственных функций.

1) если X = 0, то у = 0. Т.е. при отсутствии хотя бы одного ресурса нет выпуска продукции. 2) если Х А Х B, то f(X A ) f(X B ), причем если Х А > Х B, то f(X A ) > f (Х B ). 3) При X > 0,. 4) При X > 0, (закон падающей предельной производительности). 1) если X = 0, то у = 0. Т.е. при отсутствии хотя бы одного ресурса нет выпуска продукции. 2) если Х А Х B, то f(X A ) f(X B ), причем если Х А > Х B, то f(X A ) > f (Х B ). 3) При X > 0,. 4) При X > 0, (закон падающей предельной производительности). Основные характеристики системы: 3. Структура. Свойства неоклассических ПФ

5) При X > 0,. 6) Для любого λ выполняется соотношение: В этом случае функция у = f(X) называется однородной n-й степени. Это означает, что при увеличении затрат всех ресурсов в λ раз объем производства возрастает в λ n раз. Показатель степени однородности n характеризует изменение эффективности производства с увеличением производственных затрат (эффект масштаба). 5) При X > 0,. 6) Для любого λ выполняется соотношение: В этом случае функция у = f(X) называется однородной n-й степени. Это означает, что при увеличении затрат всех ресурсов в λ раз объем производства возрастает в λ n раз. Показатель степени однородности n характеризует изменение эффективности производства с увеличением производственных затрат (эффект масштаба). Основные характеристики системы: 3. Структура. Свойства неоклассических ПФ

Общий вид: Пример: функция Кобба-Дугласа Общий вид: Пример: функция Кобба-Дугласа Основные характеристики системы: 3. Структура. Степенная производственная функция

Свойства: предельная норма эквивалентной замены ресурсов: коэффициент эластичности выпуска по i -му ресурсу δ i = α i ; коэффициент эластичности замены ресурсов σ kl = 1. изоклиналь луч, исходящий из начала координат. Свойства: предельная норма эквивалентной замены ресурсов: коэффициент эластичности выпуска по i -му ресурсу δ i = α i ; коэффициент эластичности замены ресурсов σ kl = 1. изоклиналь луч, исходящий из начала координат. Основные характеристики системы: 3. Структура. Степенная производственная функция.

Общий вид: Пример: функция Солоу Общий вид: Пример: функция Солоу Основные характеристики системы: 3. Структура. Функция с постоянной эластичностью замены ресурсов

В функции CES все эластичности замены ресурсов σ kl равны между собой: σ kl = σ, при этом. При σ = 1 (ρ 0) функция CES преобразуется в степенную производственную функцию. В функции CES все эластичности замены ресурсов σ kl равны между собой: σ kl = σ, при этом. При σ = 1 (ρ 0) функция CES преобразуется в степенную производственную функцию. Основные характеристики системы: 3. Структура. Функция с постоянной эластичностью замены ресурсов

Производственная функция Леонтьева относится к классу функций с взаимодополняемыми ресурсами и имеет вид: Y = min{aK, bL}. Изокванты ПФ Леонтьева имеют вид прямых углов с вершинами, имеющими координаты L = C/b, K = C/a. Производственная функция Леонтьева относится к классу функций с взаимодополняемыми ресурсами и имеет вид: Y = min{aK, bL}. Изокванты ПФ Леонтьева имеют вид прямых углов с вершинами, имеющими координаты L = C/b, K = C/a. Основные характеристики системы: 3. Структура. Функция Леонтьева

3.5. Производственная функция и выбор оптимальной технологии.

Изокоста Изокоста показывает все комбинации факторов, которые может приобрести фирма в условиях ограниченного бюджета и неизменных ценах на факторы производства: с = w 1 *х 1 + w 2 *x 2 или где w 1 и w 2 - цены факторов х 1 и х 2 ; с - величина бюджета, выделенного на покупку факторов производства; x 1 и x 2 объем использования факторов производства. Изокоста показывает все комбинации факторов, которые может приобрести фирма в условиях ограниченного бюджета и неизменных ценах на факторы производства: с = w 1 *х 1 + w 2 *x 2 или где w 1 и w 2 - цены факторов х 1 и х 2 ; с - величина бюджета, выделенного на покупку факторов производства; x 1 и x 2 объем использования факторов производства.

Равновесие производителя В точке равновесия касания изокоста и изокванта имеют одинаковый угол наклона, поэтому : Поскольку x 1 МР 1 = - x 2 МР 2, то:. В точке равновесия касания изокоста и изокванта имеют одинаковый угол наклона, поэтому : Поскольку x 1 МР 1 = - x 2 МР 2, то:.

Равновесие производителя Условие равновесия (оптимума) производителя:

Путь развития Путь развития – линия, соединяющая точки равновесия производителя при разных уровнях бюджета фирмы и постоянных ценах на факторы производства Если при одинаковом приросте объема выпуска расстояние между изоквантами уменьшается, то это свидетельствует о наличии возрастающей отдачи от масштаба. Если расстояние растет, то наблюдается убывающая отдача от масштаба. Путь развития – линия, соединяющая точки равновесия производителя при разных уровнях бюджета фирмы и постоянных ценах на факторы производства Если при одинаковом приросте объема выпуска расстояние между изоквантами уменьшается, то это свидетельствует о наличии возрастающей отдачи от масштаба. Если расстояние растет, то наблюдается убывающая отдача от масштаба.

Эффект масштаба Если при увеличении объемов применяемых ресурсов в к раз, объем выпуска: а) также увеличится в к раз, то наблюдается постоянная отдача от масштаба: б) увеличится менее, чем в к раз, то имеет место убывающая отдача от масштаба: в) увеличится более, чем в к раз, то имеет место возрастающая отдача от масштаба:. Если при увеличении объемов применяемых ресурсов в к раз, объем выпуска: а) также увеличится в к раз, то наблюдается постоянная отдача от масштаба: б) увеличится менее, чем в к раз, то имеет место убывающая отдача от масштаба: в) увеличится более, чем в к раз, то имеет место возрастающая отдача от масштаба:.

Ломаные изокванты Карта изоквант при ограниченном числе технологий. Карта изоквант при ограниченном числе технологий.

Ломаные изокванты Особенности равновесия на ломаных изоквантах. Особенности равновесия на ломаных изоквантах.