2. Некоторые группы, кольца, поля 2.1. Циклические группы Теорема Ц1.

Теорема Ц2. В циклической группе любая подгруппа циклическая.

Теорема Ц3. Порядок подгруппы конечной циклической группы является делителем порядка группы. Теорема Ц4. Подгруппа группы целых имеет вид

2.2. Группа подстановок S(M) множество всех подстановок множества M

Теорема π 1.

Цикл подстановка, состоящая из нетривиальной орбиты и неподвижных элементов. Длина цикла = числу эл-в орбиты. Транспозиция цикл длины 2. Теорема π2. Каждая нетождественная подстановка раскладывается в произведение транспозиций.

Декремент подстановки d(π) разность между размером носителя и числом нетривиальных орбит на которые раскладывается подстановка. Знак подстановки (-1)^ d(π). Теорема π3. Умножение на транспозицию меняет знак подстановки. Теорема π4. Замечание. циклическая группа порядка НОК длин циклов.

Пример. Построить таблицу Кэли для S(N 3 ) Зададим элементы, помня, что 3!=6

Пример. Симметрическая группа диэдра Зададим элементы: 2.3. Группы симметрии