Учебный материал Презентацию подготовила : Домбрачева Юлия. Учитель: Н.Н.Кудоспаева

Алгебра есть не что иное, как математический язык, приспособленный для обозначения отношений между количествами. И. Ньютон

1.Алгебра. Алгебра 2.Задача. Задача. 3.Метод решения задач. Метод решения задач.Метод решения задач. 4.Первые утверждения о тождествах. Первые утверждения о тождествах.Первые утверждения о тождествах.

5.Геометрический подход. Геометрический подход.Геометрический подход. 6.Усовершенствование буквенной символики. Усовершенствование буквенной символики.Усовершенствование буквенной символики. 7.Крупные достижения. Крупные достижения.Крупные достижения. 8.Символика Виета. Символика Виета.Символика Виета. 9.Подведем итоги! Подведем итоги!Подведем итоги!

Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными ве­ личинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными ве­ личинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

задача Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих млад­ших братьев? Обозначив искомое число лет через х, составим уравнение: 30 + х = (20+х) + (6 + х) откуда х = 4.Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих млад­ших братьев? Обозначив искомое число лет через х, составим уравнение: 30 + х = (20+х) + (6 + х) откуда х = 4.

Близкий к описанному метод решения задач был известен еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к уравнениям пер­вой степени с одним неизвестным, как в зада­че о возрасте братьев, но и задачи, приводя­щие к уравнениям вида ах2 = b.Близкий к описанному метод решения задач был известен еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к уравнениям пер­вой степени с одним неизвестным, как в зада­че о возрасте братьев, но и задачи, приводя­щие к уравнениям вида ах2 = b.

Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне; в математических текстах, выпол­ненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения типовых задач, из которых решения аналогичных задач полу­чались заменой числовых данных.Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне; в математических текстах, выпол­ненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения типовых задач, из которых решения аналогичных задач полу­чались заменой числовых данных.

В числовой форме приводились и некоторые правила тождественных преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный корень из числа а, не являющегося точным квадратом, находили приближенное значение корня х: делили а на х и брали среднее арифметическое чисел х и а/х.В числовой форме приводились и некоторые правила тождественных преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный корень из числа а, не являющегося точным квадратом, находили приближенное значение корня х: делили а на х и брали среднее арифметическое чисел х и а/х.

Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI в. до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел–как объем прямоугольного параллелепипеда.Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI в. до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел–как объем прямоугольного параллелепипеда.

Алгебраические формулы принимали вид соотношений между площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. С того времени и идут термины квадрат числа (т. е. произведение величины на самое себя), куб числа, среднее геометрическое.Алгебраические формулы принимали вид соотношений между площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. С того времени и идут термины квадрат числа (т. е. произведение величины на самое себя), куб числа, среднее геометрическое.

Геометрическую форму приняло у греков и решение квадратных уравнений - они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.Геометрическую форму приняло у греков и решение квадратных уравнений - они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.

Большинство задач решалось в Древней Греции путем построений циркулем и линейкой. Но не все задачи поддавались такому решению. Например, не решались задачи удвоения куба, трисекции угла, задачи построения правильного семиугольника. Они приводили к кубическим уравнениям вида х3 = 2, 4х3 - Зх = а и х3 + х2 - 2х - 1 = 0 соответственно.Большинство задач решалось в Древней Греции путем построений циркулем и линейкой. Но не все задачи поддавались такому решению. Например, не решались задачи удвоения куба, трисекции угла, задачи построения правильного семиугольника. Они приводили к кубическим уравнениям вида х3 = 2, 4х3 - Зх = а и х3 + х2 - 2х - 1 = 0 соответственно.

Для решений этих задач был разработан новый метод, связанный с отысканием точек пересечения конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы).Для решений этих задач был разработан новый метод, связанный с отысканием точек пересечения конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы).

Геометрический подход к алгебраическим проблемам сковывал дальнейшее развитие науки, так как, например, нельзя было складывать величины разных размерностей (длины и площади или площади и объемы), нельзя было говорить о произведении более чем трех множителей и т.д.Геометрический подход к алгебраическим проблемам сковывал дальнейшее развитие науки, так как, например, нельзя было складывать величины разных размерностей (длины и площади или площади и объемы), нельзя было говорить о произведении более чем трех множителей и т.д.

Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в III в. В его книге Арифметика появляются зачатки буквенной символики и специальные обозначения для степеней неизвестного вплоть до 6-й. Были у него и обозначения для степеней с отрицательными показателями, обозначения для отрицательных чисел, а также знак равенства (особого знака для сложения еще не было), краткая запись правил умножения положительных и отрицательных чисел.Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в III в. В его книге Арифметика появляются зачатки буквенной символики и специальные обозначения для степеней неизвестного вплоть до 6-й. Были у него и обозначения для степеней с отрицательными показателями, обозначения для отрицательных чисел, а также знак равенства (особого знака для сложения еще не было), краткая запись правил умножения положительных и отрицательных чисел.

На дальнейшее развитие алгебры сильное влияние оказали разобранные Диофантом задачи, приводящие к сложным системам алгебраических уравнений, в том числе к системам, где число уравнений было меньше числа неизвестных. Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения.

С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и усовершенствовали буквенную символику.С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и усовершенствовали буквенную символику.

Однако лишь в трудах ученых Ближнего Востока и Средней Азии алгебра оформилась в самостоятельную ветвь математики, трактующую вопросы, связанные с решением уравнений. В IX в. узбекский ма­тематик и астроном Мухаммед ал-Хорезми написал трактат Китаб аль-джебр валь-мукабала, где дал общие правила для решения уравнений первой степени.

Слово «алъ-джебр» (восстановление), от которого новая наука алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Ученые Востока изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей формулы для их корней.Слово «алъ-джебр» (восстановление), от которого новая наука алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Ученые Востока изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей формулы для их корней.

В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок – после 1228). Его Книга абака (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительноВ Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок – после 1228). Его Книга абака (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно

Первым крупным самостоятельным достижением западноевропей­ских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения кубического уравнения. Это бы­ло заслугой итальянских алгебраистов С. Дель Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и уравнение 4-й степени.Первым крупным самостоятельным достижением западноевропей­ских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения кубического уравнения. Это бы­ло заслугой итальянских алгебраистов С. Дель Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и уравнение 4-й степени.

Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к от­крытию комплексных чисел. Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшее развитие алгебры: самые сложные формулы приходи­лось излагать в словесной форме. В конце XVI в. французский математик Ф. Виет ввел буквенные обозначения не только для не­ известных, но и для произвольных по­ стоянных.

Символика Виета была усовершенствована многими учеными. Окончательный вид ей придал в начале XVII в. французский философ и математик Р. Декарт, который ввел (употребляемые и поныне) обозначения для показателей степеней.Символика Виета была усовершенствована многими учеными. Окончательный вид ей придал в начале XVII в. французский философ и математик Р. Декарт, который ввел (употребляемые и поныне) обозначения для показателей степеней.

Постепенно расширялся запас чисел, с ко­торыми можно было производить действия. Завоевывали права гражданства отрица­тельные числа, потом – комплексные, ученые стали свободно применять иррациональные числа. При этом оказалось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований сохраняют свою силу.Постепенно расширялся запас чисел, с ко­торыми можно было производить действия. Завоевывали права гражданства отрица­тельные числа, потом – комплексные, ученые стали свободно применять иррациональные числа. При этом оказалось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований сохраняют свою силу.

Подведем итоги! В наши дни алгебра - одна из важнейших частей математики, находящая приложения как в сугубо теоретических отраслях науки, так и во многих практических вопросах.