Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна. Выполнила: Воробьёва Алеся Александровна 14лет Ученица 7 г класса Средней школы 11

Цели проекта. Донести до ребят что такое линейные уравнения и где они использовались в древностиДонести до ребят что такое линейные уравнения и где они использовались в древности.

Проект по алгебре «Линейные уравнения» «Линейные уравнения»

Линейное уравнение. Линейным уравнением с неизвестным х1, х2, …, хn называют уравнение вида а1х1+а2х2+….+аn x n =b : (1) Линейным уравнением с неизвестным х1, х2, …, хn называют уравнение вида а1х1+а2х2+….+аn x n =b : (1) Числа а1,а2,…,аn называют коэффициентами при неизвестных, число b-свободным членом уравнения Числа а1,а2,…,аn называют коэффициентами при неизвестных, число b-свободным членом уравнения

Линейное уравнение с одним неизвестным Линейные уравнения с одним неизвестным умели решать ещё в Древнем Вавилоне и в Египте более 4 тыс. лет назад

Задача. Приведём, например,задачу из папируса Ринда ( его называют также папирусом Ахмеса), хранящегося в Британском музее и относящегося к периоду гг. До. Н. э.: «найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитание от полученной суммы её трети получается число10» Приведём, например,задачу из папируса Ринда ( его называют также папирусом Ахмеса), хранящегося в Британском музее и относящегося к периоду гг. До. Н. э.: «найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитание от полученной суммы её трети получается число10»

Решение предыдущей задачи. Приведём также задачу Метродора,о жизни которого ни чего не известно, кроме того, что он автор интересных задач, составленных в стихах. Приведём также задачу Метродора,о жизни которого ни чего не известно, кроме того, что он автор интересных задач, составленных в стихах. Решение предыдущей задачи сводится к решению линейного уравнения Решение предыдущей задачи сводится к решению линейного уравнения х+2/3х-1/3(х+2/3х)=10 х+2/3х-1/3(х+2/3х)=10 Откуда х=9. Откуда х=9.

Диофант Здесь погребён Диофант, и камень могильный При счёте искусном расскажет нам,Здесь погребён Диофант, и камень могильный При счёте искусном расскажет нам, Сколь долог был его век.Сколь долог был его век.

Задача в стихах Но горе ребёнку ! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный,Но горе ребёнку ! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный, Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелойЧетыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой И умер прожив дня науки. Скажи мне, сколько лет достигнув, смерть воспринял ДиофантИ умер прожив дня науки. Скажи мне, сколько лет достигнув, смерть воспринял Диофант? ВЕЛЕНИЕМ БОГА ОН МАЛЬЧИКОМ БЫЛ ШЕСТУЮ ЧАСТЬ ЧАСТЬ СВОЕЙ ЖИЗНИВЕЛЕНИЕМ БОГА ОН МАЛЬЧИКОМ БЫЛ ШЕСТУЮ ЧАСТЬ ЧАСТЬ СВОЕЙ ЖИЗНИ В ДВЕННАДЦАТОЙ ЧАСТИ ЗАТЕМ ПРОШЛА ЕГО СВЕТЛАЯ ЮННОСТЬВ ДВЕННАДЦАТОЙ ЧАСТИ ЗАТЕМ ПРОШЛА ЕГО СВЕТЛАЯ ЮННОСТЬ СЕДЬМУЮ ЧАСТЬ ЖИЗНИ ПРИБАВИМ. ПРЕД НАМИ ОЧАГ ГИМЕНЕЯСЕДЬМУЮ ЧАСТЬ ЖИЗНИ ПРИБАВИМ. ПРЕД НАМИ ОЧАГ ГИМЕНЕЯ ПЯТЬ лет протекли; и прислал Гименей ему сынаПЯТЬ лет протекли; и прислал Гименей ему сына

Решение линейного уравнения к предыдущей задачи. 1/6 х+1/12х+1/7х+5+1/2х+4=х, 14/84х + 7/84х + 12/84х + 42/84х –х = -4-5, 75/84х – х = -9, -9/84х = -9. Х = -9 : (-9/84), Х = 84. Значит, 84 года прожил Диофант

Диофант –С–С–С–Сам Диофант много внимания уделял неопределённым уравнениям (так называют алгебраические уравнения или системы таких уравнений с двумя и большим числом неизвестных с целыми,коэффициентами, для которых разыскиваются целые или рациональные решения ; число неизвестных должно быть больше числа уравнений)

продолжение Эти уравнения называются диофантовыми уравнениями Эти уравнения называются диофантовыми уравнениями Правда, Диофант, живший на рубеже 2- 3вв., в основном занимался неопределёнными уравнениями более высоких степеней. Правда, Диофант, живший на рубеже 2- 3вв., в основном занимался неопределёнными уравнениями более высоких степеней.

Система алгебраических уравнений Систему алгебраических уравнений, каждое из которых имеет вид(1), называют линейной системой. Коэффициенты уравнений, входящих в систему нумеруют обычно двумя индексами,первый из которых номер уравнения,а второй(как и в (1)) номер неизвестного. Например,систему м уравнений с n неизвестными записывают в виде A11x1+a12x2+….+a1nxn =b1, A21x1+a22x2+….+a2nxn =b2 am1x1+am2x2+….+am n x n=b m (2)

Система двух линейных уравнений Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a 11 x 1 +a 12 x 2 =b 1, a 11 x 1 +a 12 x 2 =b 1, A 21 x 1 +a 22 x 2 =b 2 (3) A 21 x 1 +a 22 x 2 =b 2 (3)

Уравнение Умножим первое уравнение системы(3) на а 22 и вычтем из полученного уравнения второе, умноженное на а 12 ; аналогично умножим второе уравнение системы(3) на а 11 и вычтем из полученного уравнения первое, умноженное на а 21. Умножим первое уравнение системы(3) на а 22 и вычтем из полученного уравнения второе, умноженное на а 12 ; аналогично умножим второе уравнение системы(3) на а 11 и вычтем из полученного уравнения первое, умноженное на а 21.

Полученная система (а11а22-а12а21)х2=а11b2-b1а21, (а11а22-а12а21)х1=b1а22-а12b2 ( (4)

Система. После этого получится система: которая есть следствие системы(3). Систему (4) можно записать в виде После этого получится система: которая есть следствие системы(3). Систему (4) можно записать в виде А*х 1 =а 1 А*х 1 =а 1 А* х 2 =а А* х 2 =а

Что значит А?Что значит А? А - определитель матрицы,составленной из коэффициентами системы (см. определитель),Аi- Определители матриц, получаемых из предыдущей заменой i-го столбца на столбец из свободных членов,i=1,2. далее, если а не равно нулю, то система(5) имеет единственное решение:

Решение Х1=а1/а,х2=а2/а Х1=а1/а,х2=а2/а

Непосредственная подстановка Непосредственной подстановкой проверяется, что эта пара чисел является также и решением системы(3). По такому же правилу ищут решение системы nлинейных уравнений с n неизвестными: если определитель системы а отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причём Х1=аi/a,

Определитель матрицы. Где А- определитель матрицы, получаемой из матрицы, составленной из коэффициентов системы,заменой в ней i-го столбца на столбец из свободных членов. Описанное правило решения линейных систем носит название правила Крамера.(Г. Крамер – швейцарский математик, ). Где А- определитель матрицы, получаемой из матрицы, составленной из коэффициентов системы,заменой в ней i-го столбца на столбец из свободных членов. Описанное правило решения линейных систем носит название правила Крамера.(Г. Крамер – швейцарский математик, ).

Если а = 0,то должны обращаться в нуль и а1 и а2 (иначе(5), а тем более (3) не имеет решений). При выполнении условия а=а1=а2=0, если соответственные коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения системы (3) пропорциональны, то система будет иметь бесконечно много решений; если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля (например,если а12не равно 0),то х1 можно взять любым.Если а = 0,то должны обращаться в нуль и а1 и а2 (иначе(5), а тем более (3) не имеет решений). При выполнении условия а=а1=а2=0, если соответственные коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения системы (3) пропорциональны, то система будет иметь бесконечно много решений; если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля (например,если а12не равно 0),то х1 можно взять любым.

Х любое тогда получается, что, Х 2 =b 1 /a 12 -a 11 x 1 /a 12 Х 2 =b 1 /a 12 -a 11 x 1 /a 12

Последняя система. Осталось разобрать случай, когда система имеет вид 0*x1+0*х2=b1 0*x1+0*x2=b2 ( (5)

Ответ. Для которого ответ очевиден :если b1=b2=0, то решением является любая пара чисел, в противном случае решений нет.Для которого ответ очевиден :если b1=b2=0, то решением является любая пара чисел, в противном случае решений нет. Если а=0 и хотя бы один из определителей а i отличен от нуля,система несовместна (т.е.не имеет решений). В общем случае для системы из n уравнений с n неизвестными при а=0 система имеет единственное решение, которое, как уже говорилось, можно найти по правилу Крамера. Установить какой из этих двух случаев реализуется с помощью определителей,довольно сложно, и мы этим заниматься не будем

Практика. На практике для решения линейных систем правилом Крамера обычно не пользуются. Чаще всего для этих целей, применяют метод Гаусса (см.неизвестных исключение). На практике для решения линейных систем правилом Крамера обычно не пользуются. Чаще всего для этих целей, применяют метод Гаусса (см.неизвестных исключение).

Линейное уравнение. Как известно, линейное уравнение а 1 х 1 +а 2 х 2 =b определяет прямую на плоскости(х1;х2)в случае, когда хотя бы один из коэффициентов а1 и а2 отличен от нуля. Как известно, линейное уравнение а 1 х 1 +а 2 х 2 =b определяет прямую на плоскости(х1;х2)в случае, когда хотя бы один из коэффициентов а1 и а2 отличен от нуля.

Линейное уравнение. Если мы возьмём на плоскости две прямые то возможны следующие случаи.(рис1)Если мы возьмём на плоскости две прямые то возможны следующие случаи.(рис1)

Прямые. 1)прямые параллельны и не имеют общих точек,и тогда система не имеет решений; 1)прямые параллельны и не имеют общих точек,и тогда система не имеет решений; 2)прямые пересекаются, и тогда система имеет одно решение ; 2)прямые пересекаются, и тогда система имеет одно решение ; 3)прямые совпадают, и тогда система имеет бесконечно много решений. 3)прямые совпадают, и тогда система имеет бесконечно много решений.

Две прямые. Но две «случайно» взятые прямые, «как правило», будут пересекаться,т.е. как правило, система двух линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение. Но две «случайно» взятые прямые, «как правило», будут пересекаться,т.е. как правило, система двух линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение.

Любая точка некоторой прямой на плоскости соответствует решению «системы» (состоящей из одного уравнения), т.е., как правило, имеет место случай 3 (случай 2 невозможен, а случай 1 реализуется, если мы возьмём уравнение 0*х1+0*х2=b, где b не равно нулю,не определяющее прямой на плоскости). Если же на плоскости взять 3 или больше прямых,то, вообще говоря, они могут все совпадать или проходить через одну точку,но, как правило, имеет место первый случай - у прямых нет общей точки.Любая точка некоторой прямой на плоскости соответствует решению «системы» (состоящей из одного уравнения), т.е., как правило, имеет место случай 3 (случай 2 невозможен, а случай 1 реализуется, если мы возьмём уравнение 0*х1+0*х2=b, где b не равно нулю,не определяющее прямой на плоскости). Если же на плоскости взять 3 или больше прямых,то, вообще говоря, они могут все совпадать или проходить через одну точку,но, как правило, имеет место первый случай - у прямых нет общей точки.

Мотивационный материал. Эта тема понадобится ещё в дальнейшем например в Вузах, в институтах, в техникумах и др. она используется везде и даже в школах в старших классах. Эта тема понадобится ещё в дальнейшем например в Вузах, в институтах, в техникумах и др. она используется везде и даже в школах в старших классах.

Теоретический курс. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение,стоящее с лева от знака равенства,называется левой частью уравнения, а выражение,стоящее с права от знака равенства, -правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения. Выражение,стоящее с лева от знака равенства,называется левой частью уравнения, а выражение,стоящее с права от знака равенства, -правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения.

Корень уравнения. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение- это значит найти все его корни или установить,что их нет. Решить уравнение- это значит найти все его корни или установить,что их нет.

Задача. Конверт с новогодней открыткой стоит 17к. Конверт дешевле открытки на 5к. Найти стоимость открытки. Решение Решение Пусть открытка стоит х к., тогда конверт стоит (х-5) к. Пусть открытка стоит х к., тогда конверт стоит (х-5) к. По условию задачи х +(х-5)=17, откуда По условию задачи х +(х-5)=17, откуда 2х-5=17, 2х=22, х=11. 2х-5=17, 2х=22, х=11. Значит, открытка стоит 11 копеек. Значит, открытка стоит 11 копеек. Ответ : 11 к. Ответ : 11 к.

Практическое применение. Уравнение может иметь бесконечно много решений. Например,уравнение 2(х-1)=2х-2 имеет бесконечно много корней: любое значение х является корнем этого уравнения, так как при любом х левая часть уравнения равна правой части. Уравнение может и не иметь корней.