Ряды Фурье

Общий вид процедуры (стандартный синтаксис): > name:=proc(var1, var2, …) local vloc1, vloc2,…; > expr1; > expr2; > exprn; > end;

Пусть требуется разложить на интервале [x1, x2] 2l-периодическую функцию f(x). Тогда ряд Фурье имеет вид: где l=(x2 x1)/2;

> fourierseries:=proc(f,x,x1,x2,n) local k, l, a, b, s; > l:=(x2-x1)/2; > a[0]:=int(f,x=x1..x2)/l; > a[k]:=int(f*cos(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l; > b[k]:=int(f*sin(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l; > s:=a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*Pi*x/l)+ b[k]*sin(k*Pi*x/l), k=1..n); > end;

Порядок обращения к этой процедуре такой: fourierseries(f,x,x1,x2,n), где f – имя функции, разложение которой требуется найти, где х – имя независимой переменной, где х1, x2 – интервал разложения, где n – число членов ряда.

Примеры 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x/2 с периодом 2 на интервале [0; 2 ], удерживая 6 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n- частичной суммы ряда Фурье.

>fourierseries; > f:=x/2:x1:=0:x2:=2*Pi: > fr:=fourierseries(f,x,x1,x2,6);

> plot({fr,f}, x=x1..x2, color=[blue,red], thickness=3, linestyle=[3,1]]);

Примеры 2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2 на интервале [-, ], удерживая 2, 4 и 8 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичных сумм ряда Фурье.

> f:=exp(-x);x1:=-Pi;x2:=Pi: > fr1:=fourierseries(f,x,x1,x2,2): > fr2:=fourierseries(f,x,x1,x2,4): > fr3:=fourierseries(f,x,x1,x2,8): >plot({f,fr1,fr2,fr3},x=x1..x2,color=[ magenta, blue, green, red], thickness=3, linestyle= [1,3,2,2]);

Интегральные преобразования. Преобразование Фурье. Прямое преобразование Фурье функции f(x) вычисляется по формуле fourier(f(x),x, ), где x переменная, по которой производится преобразование, имя переменной, которое следует присвоить параметру преобразования.

Обратное преобразование Фурье задается формулой invfourier(,,x) fouriersin (f(x),x, ), вычисляет прямое синус-преобразование Фурье; fouriersin(,,x) вычисляет обратное синус-преобразование Фурье.

Примеры 1. Для функции найти преобразование Фурье. > restart:with(inttrans): assume(a>0): >fourier(exp(-a*abs(x)),x, lambda);

2. Для функции, a>0 найти обратное преобразование Фурье. >invfourier(1/(lambda^2-a^2),lambda,x);

Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа функции f(x) (если оно существует) вычисляется по формуле: Получаемая функция F(p) называется изображением.

В Maple это преобразование вычисляется командой laplace(f(x),x,p), где x переменная, по которой производится преобразование, p имя переменной, которое следует присвоить параметру преобразования. Обратное преобразование Лапласа (называется оригиналом) вычисляется по формуле:

Оригинал f(x) (если он существует) может быть найден по изображению F(p) командой invlaplace(F(p),p,x).

Примеры 1. Найти изображение функции > restart:with(inttrans): > F(p)=laplace(cos(a*x)*sinh(b*x), x, p);

Примеры 2. Найти оригинал Лапласа функции, a>0. >assume(a>0): invlaplace(1/(p^2+2*a*p),p,x):

Примеры 3. Найти преобразование Лапласа для функции >F(p)=laplace(sin(t)/t, t, p);

Примеры 4. Найти оригинал Лапласа функции и построить его график. >invlaplace(1/((p-1)^2*(p^2+1)),p,x)