Реферат по математике. Методы решения рациональных неравенств. Выполнила: ученица 11 а класса Гончарова Александра. Гончарова Александра.

Свойства равносильных неравенств.

Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и тоже число или одно и тоже выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и тоже число или одно и тоже выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Свойство 2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при всех хR, перенести из одной части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильно данному.

Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Свойство 4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Метод интервалов.

х 4 + 3х 3 – 4х > 0. Пример: Решить неравенство

Разложим на множители многочлен Р 4 (х), стоящий в левой части неравенства. Вынося множитель х за скобку, получаем Р 4 (х) = х(х 3 + 3х 2 – 4). Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде х 3 + 3х 2 – 4 = (х-1)(х 2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) 2. Таким образом, Р 4 (х) = х(х - 1)(х + 2) 2 и неравенство может быть записано в виде х(х –1)(х + 2) 2 > 0. Решение. Разложим на множители многочлен Р4(х), стоящий в левой части неравенства (*). Вынося множитель х за скобку, получаем Р4(х) = х(х3 + 3х2 – 4). Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде х3 + 3х2 – 4 = (х- 1)(х2 + 4х + 4) = (х- 1)(х + 2) 2. Таким образом, Р4(х) = х(х - 1)(х + 2) 2 и неравенство (*) может быть записано в виде х(х – 1)(х + 2)2 > 0. Решение.

1. 1.Рассмотрим функцию у= х(х-1)(х+2) Область определения функции D(у) =(-; +) Найдем нули функции. х(х-1)(х+2) 2 =0 Х=-2 Х=0 Х=1 4.Определим знак на каждом промежутке x у>0, при х (- ; -2) (-2; 0) (1; ). Ответ: х (- ; -2) (-2; 0) (1; ).

Дробно – рациональные неравенства.

Пример: Решить неравенство (х+2) / (х 2 -х-2)< -1.

Решение: Прибавляя к обеим частям неравенства 1, получим неравенство вида х 2 / (х 2 -х-2)< 0, которое равносильно неравенству х 2 (х 2 – х – 2) < х Множество решений последнего неравенства находится методом интервалов: х ( -1;0) (0;2). Ответ: х (-1;0) (0;2).

Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

Пример: Решить неравенство х х < 0. Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х 2 –2, стоящего под знаком абсолютной величины. Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х 2 –2, стоящего под знаком абсолютной величины.

x x ) 1)Предположим, что х 2 –2 0, тогда неравенство принимает вид х 2 +х–2

Рассмотрим графическое решение данного неравенства y 2 =-x y 1 = |x | x y

Неравенства с параметрами.

Пример: Для всех значений а решить неравенство aх>1/x. Решение: Запишем неравенство в виде (ах 2 -1)/х>0, тогда исходное неравенство равносильно двум системам неравенств: ax 2 – 1 > 0, ax 2 – 1 0, ax 2 – 1 < 0, x > 0; x 0; x < 0. Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде: ax 2 >1. Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде: ax 2 >1. При а>0 оно равносильно неравенству х 2 >1/a, множество решений которого х 1/ a. В этом случае решение первой системы: х (1/ a; ). При а 0 левая часть неравенства ах 2 –1>0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и вся система неравенств. При а>0 оно равносильно неравенству х 2 >1/a, множество решений которого х 1/ a. В этом случае решение первой системы: х (1/ a; ). При а 0 левая часть неравенства ах 2 –1>0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и вся система неравенств. Рассмотрим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства ах 2 – 1 0 решениями неравенства ах 2 – 1

Приведем графическую иллюстрацию решения этого примера. x y у=ах 0 x y y = ax a> 0 0 1/ a-1/ a а 0 Ответ: Если а 0, то х (- ; 0); если а > 0, то х (- 1/ a ; 0) ( 1/ a; ).

Графическое решение неравенств.

Графическое решение неравенств. Пример. Решить графически систему неравенств x 2 +у 2 –4>0, y>0, x>0. Решение. Решение первого неравенства системы есть координаты точек плоскости, которые лежат вне окружности х 2 +у 2 =4; решение второго неравенства есть координаты точек верхней полуплоскости; решение третьего неравенства есть координаты точек правой полуплоскости. Решением системы являются координаты точек, которые лежат в заштрихованной области. y = 0 x y x = 0 x 2 + y 2 = 4