Случайная величина (СВ) 1

СВ – количественная характеристика случайного явления. Случайной называется такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. 2

Случайная величина (СВ) Обозначение СВ: а ее возможные значения – соответствующими малыми буквами с индексами. Напр., возм. знач. СВ X: x 1, x 2,...,x n Для нас важно то, что результаты любых измерений являются случайными величинами. 3

Случайная величина (СВ) Каждое значение СВ есть случайное событие. Все возможные значения СВ составляют полную группу событий. Различают СВ двух типов – дискретные (ДСВ) и непрерывные (НСВ) 4

Случайная величина (СВ) Дискретная (ДСВ) - такая СВ, возможные значения которой: 1) принимают отдельные изолированные значения; 2) их все можно указать заранее численно, если их число конечно. 5

Случайная величина (СВ) Например, ДСВ X – число попаданий при 3-х выстрелах; Ее возможные значения : 0, 1, 2, 3. Число возможных значений ДСВ может быть конечным и бесконечным. 6

Непрерывная (НСВ) - такая СВ, возм. значения которой: в принципе нельзя указать заранее численно; можно указать лишь границы ее изменения, т.е. отрезок, на котором находятся все ее возможные значения. 7

Например, НСВ X – координаты точек попадания при стрельбе в мишень; ее возм. значения ограничены размерами мишени. Или НСВ Y – результаты многократных измерений одной величины; ее возм. значения непрерывно изменяются в пределах точности измерительного прибора Число возможных значений НСВ всегда бесконечно. 8

Важнейшей и исчерпывающей характеристикой СВ является: закон распределения вероятностей ее значений. 9

Закон распределения СВ Рассмотрим ДСВ X с возможными значениями. Они составляют полную группу событий. Каждое из них СВ может принять с некоторой вероятностью, т.е.:. 10

Закон распределения СВ В результате опыта эта СВ обязательно примет только одно из этих значений. Если указать численно значения вероятностей p i, то тем самым будет задан закон распределения вероятностей СВ или просто – закон распределения СВ. 11

Закон распределения СВ Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между ее возможными значениями x i и соответствующими им вероятностями p i. Про СВ говорят, что она подчинена данному закону распределения. 12

Способы задания закона распределения ДСВ 1. Численный способ – в виде ряда распределения …... 13

Способы задания закона распределения ДСВ 2. Графический способ – в виде многоугольника распределения: Он строится по данным ряда распределения 14

Способы задания закона распределения ДСВ 3. Аналитический способ – в виде формулы, позволяющей вычислять вероятности отдельных значений СВ в зависимости от самих этих значений. 15

Напр., формула Бернулли задает биномиальный закон распределения ДСВ X, где: X = k – число появлений события в n испытаниях. Возможные значения этой СВ k = 0,1, 2,…, n, а вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:. 16

Имея аналитическое выражение закона распределения СВ, всегда можно получить ряд распределения. Так ряд распределения для биномиального закона: При этом всегда

Способы задания закона распределения НСВ Для НСВ нельзя составить ряд распределения, как для ДСВ, так как в принципе невозможно перечислить все ее возможные значения, принадлежащие отрезку [ a, b ]. 18

Способы задания закона распределения НСВ Однако внутри этих границ разные интервалы значений СВ имеют в общем случае разные вероятности: 19

Способы задания закона распределения НСВ Поэтому для НСВ: имеет смысл только вычисление вероятностей попадания в соседние интервалы и не имеет смысла вычисление вероятностей отдельных ее значений 20

Способы задания закона распределения НСВ Для НСВ возможен только аналитический способ задания закона ее распределения. Это должен быть такой способ, который позволял бы легко вычислять вероятности ее попадания в отдельные интервалы. Такому требованию отвечает т.н. функция распределения вероятностей или просто – функция распределения СВ. 21

Способы задания закона распределения НСВ Функция распределения СВ F(x) и связанная с нею плотность вероятности f(x) – две формы аналитического задания закона распределения НСВ 22

Функция распределения вероятностей Понятие функции F(x) распределения СВ вводится в виде вероятности случайного события, состоящего в том, что СВ X примет значение левее точки x на числовой оси, т. е. 23

Функция распределения вероятностей где x – некоторая текущая переменная, с изменением которой меняется и значение функции F(x): 24

Определение. Функцией распределения СВ называется вероятность того, что СВ X примет значение меньше заданного x. Ее называют также интегральным законом распределения или интегральной функцией. Функция распределения вероятностей 25

Свойства функции распределения 1. F(x) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т. е.. т.к. F(x) определена как вероятность случайного события, а вероятность не может быть отрицательной. 26

Свойства функции распределения 2. Вероятность появления СВ в интервале, полузамкнутом справа, равна разности значений функции распределения в концах этого интервала, т. е.. 27

Свойства функции распределения Доказательство. Выберем на числовой оси две точки и и рассмотрим события:,,. Очевидно, что. 28

Свойства функции распределения По теореме сложения вероятностей несовместных событий можно написать: или,т.е. поскольку, а согласно определению функции распределения как. 29

Свойства функции распределения Замечание. Если будем неограниченно уменьшать участок, полагая, например, что, то в пределе получим вероятность того, что СВ примет отдельное значение : Если в точке функция имеет разрыв (ДСВ), то этот предел равен значению скачка функции в точке. 30

Если же функция в точке непрерывна (НСВ), то этот предел равен нулю. Т.о., для НСВ вероятность любого конкретного значения равна нулю, т. е.. Свойства функции распределения 31

3. Функция распределения есть неубывающая функция, т. е. при. Это свойство вытекает из свойства 2. Свойства функции распределения 32

4. Свойства функции распределения 33

Функция распределения вероятностей существует как для НСВ, так и для ДСВ – это универсальный способ задания закона их распределения. 34

Для ДСВ функция распределения имеет вид:, где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения СВ, которые меньше заданного. 35

Задача Производятся два выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0.3. Построить функцию распределения числа попаданий. 36

Имеем ДСВ Построим для нее ряд распределения, учитывая, что все возможные значения этой СВ равны 0, 1 и 2, а вероятности этих значений получим по формуле Бернулли:, где Решение 37

Ряд распределения: Решение k012 pipi

Для построения функции распределения вычислим несколько ее значений в таблице и построим график функции распределения. Решение 39

Решение График функции k012 pipi

График функции распределения любой ДСВ величины есть всегда прерывная ступенчатая линия Сумма ординат всех скачков равна единице. 41

С увеличением числа возможных значений СВ и уменьшением интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки меньше, – ступенчатая линия становится более плавной. ДСВ постепенно приближается к НСВ, а ее функция распределения – к непрерывной функции. 42

График функции F(x) любого закона распределения вероятностей имеет одинаковый внешний вид: 43

Задача Дана функция распределения НСВ: Найти вероятность попадания СВ в интервал и построить график функции распределения. 44

Вероятность попадания СВ в интервал найдем по формуле, т. е.. Решение 45

Решение Для построения графика найдем:

Построим график: Решение 47

Плотность распределения (плотность вероятности) Понятие плотности вероятности – функция – вводится только для НСВ и определяется как: 48

Плотность распределения (плотность вероятности) Функция характеризует как бы плотность, с которой распределяется СВ в данной точке. Поэтому ее и называют плотностью распределения или плотностью вероятности, а также дифференциальным законом распределения СВ. 49

Плотность распределения (плотность вероятности) Кривая, изображающая плотность вероятности, называется кривой распределения. Кривая распределения для разных законов имеет разную форму, Это более наглядно отражает различие между законами. 50

Плотность распределения (плотность вероятности) Например: Но, несмотря на различие графиков, общие свойства функции одинаковы для всех законов распределения. 51

Свойства плотности вероятности 1. Плотность вероятности неотрицательна, т. е., т.к она определена как производная от неубывающей функции. Геометрически это свойство означает, что кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс. 52

Свойства плотности вероятности 2. что очевидно из определения функции распределения: 53

Свойства плотности вероятности Геометрически на графике функции функция численно равна площади: 54

Свойства плотности вероятности 3. Вероятность попадания СВ на участок равна 55

Свойства плотности вероятности Геометрически эта вероятность численно равна площади криволинейной трапеции с основанием. 56

Положив и, получим узкий прямоугольник, площадь которого называется элементом вероятности. Свойства плотности вероятности 57

4.. Это свойство следует из свойства 2 и из того, что. Свойства плотности вероятности 58

Геометрически это означает, что вся площадь, между кривой распределения и осью абсцисс, равна единице: Свойства плотности вероятности 59

Задача СВ подчинена закону распределения с плотностью вероятности 1. Построить график плотности; 2. Вычислить вероятность попадания СВ на участок от 0 до ; 3. Найти функцию распределения СВ 60

Решение 1. Для построения графика найдем ряд значений функции :

Решение Построим график плотности 62

2. Вычислим вероятность попадания в заданный интервал по формуле, где, а : Решение 63

Решение 64

Решение 3. Найдем функцию распределения по формуле 65

Решение Получим: 66

Решение И окончательно: 67