1.2. Элементарные преобразования матриц Определение 1.7. Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования: 1) перестановка любых двух строк (столбцов) в матрице; 2) умножение любой строки (столбца) на любое ненулевое число; 3) прибавление к любой строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число. Матрицы А и В называются эквивалентными (А В), если они получаются одна из другой с помощью цепочки элементарных преобразований.

Пример 1.1. ~ ~ Теорема 1.2. Любую квадратную матрицу можно с помощью цепочки элементарных преобразований привести к «треугольному» виду. Пример 1.2. ~ ~ ~ ~ Все элементы 1-ой строки умножаем на число (-4), затем результат прибавляем к 3-ей строке (на неё указывает стрелка) Переставляем первую и вторую строки с целью: в «левом верхнем углу» получить 1

Теорема 1.3. Любую прямоугольную (неквадратную) матрицу А можно с помощью цепочки элементарных преобразований привести к, так называемому, «почти треугольному» виду или к «ступенчато– треугольному» виду. Замечание. «Ступенчато–треугольной» матрицей назовем матрицу «почти треугольного» вида, у которой в каждой следующей строке (начиная со второй строки) количество нулевых элементов подряд (начиная с левого конца этой строки) больше, чем в предыдущей строке. Примеры 1.3. ~ ~ ~ ~ ~ ~

1.4. ~ ~ ~ 1.5. ~ 1.6. ~ ~ 1.3. Ранг матрицы Определение 1.8. Пусть дана матрица А, которая (согласно теоремам 1.2 и 1.3) может быть приведена к треугольному или «почти треугольному» виду (или «ступенчато–треугольному» виду). Количество базисных элементов в преобразованной матрице называется рангом матрицы (и одновременно рангом преобразованной матрицы). Ранг матрицы обозначается через.

Замечание. Ранг можно определить и как количество ненулевых строк в матрице «ступенчато треугольного» вида. Например. В примере 1.4 базисных элементов в преобразованной матрице – два, ненулевых строк в преобразованной матрице «ступенчато треугольного» вида – тоже два: В примере 1.6: 1.4. Определитель матрицы. Свойства определителей Определение 1.9. Пусть дана квадратная матрица А. Согласно теореме 1.2 её можно с помощью цепочки элементарных преобразований (алгоритм Гаусса) привести к треугольному виду:

Тогда число, (1.11) где р – число перестановок строк в алгоритме Гаусса, с помощью которого из А получена, называется определителем матрицы А. Пример 1.7. Найти определитель матрицы А: ~ ~ ~ ~ ~ Свойства определителей 1. Пусть Е – единичная матрица, тогда (1.12)

2. Пусть – диагональная матрица, тогда.(1.13) 3. Пусть – матрица «треугольного» вида, тогда.(1.14) 4. Если – матрица размера 1 1, то. (1.14.1) 5. Если – матрица размера, тогда. (1.15)

Определение Пусть – квадратная матрица, – её элемент, тог- да минором этого элемента называется число, равное определителю матрицы, которая получается из матрицы А «вычеркиванием» её i–ой строки и j–го столбца. Алгебраическим дополнением элемента назы- вается число. 6. Пусть А – квадратная матрица, тогда её определитель может быть вычислен «разложением по любой строке (или любому столбцу)». Например, «разлагая по первой строке», получим:.(1.16)

Пример 1.8. Замечание.

7. Если в квадратной матрице А имеется чисто нулевая строка (столбец), то определитель такой матрицы равен нулю. Свойство 8 следует из свойства Пусть А и В – квадратные матрицы одинакового размера, которые полу- чаются друг из друга с помощью цепочки элементарных преобразований типа 1) и 3) (см. определение 1.7), тогда, (1.17) где р – число перестановок строк в цепочке элементарных преобразований при переходе от А к В (или от В к А ). 9. Если в матрице А имеются две пропорциональные строки (столбца), то её определитель равен нулю. Пример 1.9. В матрице: – первая и вторая строки пропорци- ональны:. Далее: ~, поэтому по свойству 9, но по свойству 8, то есть. 10. Если А и В – две квадратные матрицы одинакового размера, то

11. Если матрица А имеет к себе обратную, то Метод нахождения обратной матрицы Теорема 1.4. Пусть А – матрица размера. Если, то такая матрица имеет к себе обратную. При этом обратную матрицу можно найти так: » (1.18) Замечание. Если же, то обратная матрица не существует (см. замечание к определению 1.6). Пример Найти обратную матрицу к матрице. Решение Имеем:, поэтому по теореме 1.4 матрица А имеет обратную:. (1.19)

Далее: Из (1.19) получаем:. Проверка: Ответ:.