Решим задачу о вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции, отрезками прямых, и осью Ox.Такую фигуру называют криволинейной трапецией a b

Если функция непрерывна на то существует такая точка что

Вычислить.

. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость). Этот несобственный интеграл расходится.

Несобственный интеграл

Площадь фигуры в декартовых координатах. 0

В случае параметрического задания кривой, площадь фигуры, ограниченной прямыми, осью Ох и кривой вычисляют по формуле где пределы интегрирования определяют из уравнений..

Площадь полярного сектора вычисляют по формуле. α β

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

Получим

Найти площадь эллипса. Параметрические уравнения эллипса у о х

Площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли и лежащей вне круга радиуса :

Если кривая задана параметрическими уравнениями,, то длина ее дуги, где –значения параметра, соответствующие концам дуги.

Если кривая задана уравнением, то, где a, b–абсциссы начала и конца дуги. Если кривая задана уравнением, то, где c, d–ординаты начала и конца дуги

Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то, где –значения полярного угла, соответствующие концам дуги.

Вычислить длину дуги кривой от точки до., тогда

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой, отрезком оси абсцисс и прямыми, вычисляется по формуле.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой, отрезком оси ординат и прямыми, вычисляется по формуле.

Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями и Рис. 14 А y

Тогда