Матрица Гильберта при размерности n много большей 1 метод Гаусса не эффективен

Нахождение определителя матрицы с помощью метода Гаусса С помощью метода Гаусса можно найти определитель из матрицы, приведенной к верхнетреугольному виду: Если применяется метод Гаусса с выбором главного элемента, то необходимо учесть только знак определителя, который определяется по числу перестановок строк или столбцов (p – число четное или нечетное):

Итерационные методы ( метод Якоби, метод Зейделя, метод релаксации ) Итерационные методы позволяют найти решение лишь с заданной точностью. Пусть требуется решить систему Ax=f. Представим матрицу A в виде A=L+D+U, L- нижнетреугольная матрица, D- диагональная матрица, U-верхнетреугольная матрица.

Итерационные методы ( метод Якоби, метод Зейделя, метод релаксации ) Сделаем преобразование системы к виду Обозначим Тогда наша система запишется в виде x=Bx+c

Итерационные методы ( метод Якоби, метод Зейделя, метод релаксации ) На основе этого равенства построим итерационный процесс. При начальном приближении x 0 (k=0) следующие значения x 1, x 2,…будем искать по формуле: x ( k +1) = Bx ( k ) + c, где k - номер предыдущей итерации Условие останова итерационного процесса: где - заданная точность вычисления. Достаточным условием сходимости метода является Необходимым и достаточным условием сходимости итерационных методов является условие | max (B)| < 1. Оценка погрешности итерационного процесса запишется в виде где x * - точное решение.

Итерационные методы ( метод Якоби, метод Зейделя, метод релаксации ) Итерационная формула для метода Якоби: Для метода Зейделя запишем (k+1)-ую итерацию по-элементно т.е. каждый вычисленный элемент вектора x на ( k +1)-ой итерации включается в вычисления следующего элемента.

Итерационные методы ( метод Якоби, метод Зейделя, метод релаксации ) Итерационная формула для метода Зейделя: Для метода релаксации введем параметр так, что и при > 1 будет метод верхней релаксации, при = 1 - метод полной релаксации (метод Зейделя), при < 1 - метод нижней релаксации. Если A=A * > 0, a такое, что 0<

Введем понятие невязки r (k) =Ax (k) -f. Введем понятие поправки w (k) =B -1 r (k). Будем выбирать параметр k+1 из условия минимума нормы погрешности при переходе от одной итерации к другой. Итерационные методы вариационного типа

метод скорейшего спуска метод минимальных невязок Итерационные методы вариационного типа

Метод сопряженных градиентов (явная схема): Метод сопряженных невязок (явная схема): Метод сопряженных погрешностей (неявная схема):