Арифметические основы компьютеров Системы счисления © Геращенко Евгения © Шатова Мария

Что такое система счисления Система счисления это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая 7 единиц, а третья 7 десятых долей единицы. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая 7 единиц, а третья 7 десятых долей единицы.

Позиционная система счисления Основание позиционной системы счисления количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание позиционной системы счисления количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. За основание системы можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем : двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения За основание системы можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем : двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения an-1 qn-1 + an-2 qn a1 q1 + a0 q0 + a-1 q a-m q-m, где ai цифры системы счисления; n и m число целых и дробных разрядов, соответственно.

Как порождаются числа в позиционных системах счисления В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д. Продвижением цифры называют замену её следующей по величине. В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д. Продвижением цифры называют замену её следующей по величине. Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 замену её на 0. Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 замену её на 0. Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё. Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Вот такие системы счисления используют специалисты Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно: Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно: двоичная (используются цифры 0, 1); двоичная (используются цифры 0, 1); восьмеричная (используются цифры 0, 1,..., 7); восьмеричная (используются цифры 0, 1,..., 7); шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1,..., 9, а для следующих чисел от десяти до пятнадцати в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F). шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1,..., 9, а для следующих чисел от десяти до пятнадцати в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F). Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел: Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

Люди пользуются десятичной, а компьютеры двоичной системой счисления Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления. Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления. А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток нет тока, намагничен не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, как в десятичной; для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток нет тока, намагничен не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, как в десятичной; представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво; представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво; возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации; возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации; двоичная арифметика намного проще десятичной. двоичная арифметика намного проще десятичной. Недостаток двоичной системы быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Недостаток двоичной системы быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Так же в компьютерах используют восьмеричную и шестнадцатеричную Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 соответственно, третья и четвертая степени числа 2). Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадной (четверкой цифр). Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 соответственно, третья и четвертая степени числа 2). Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадной (четверкой цифр). Например: Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или триады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или триады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например:

Перевод целого числа из десятичной в любую другую позиционную систему счисления Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо N разделить с остатком ("нацело") на q, записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q, и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения. Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо N разделить с остатком ("нацело") на q, записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q, и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения. Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: Ответ: 7510 = = 1138 = 4B16. Ответ: 7510 = = 1138 = 4B16.

Как перевести плавильную десятичную дробь в любую другую позиционную систему счисления? Для перевода правильной десятичной дроби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2. Для перевода правильной десятичной дроби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше. Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше.

Как перевести число из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную? Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде xq = (anan-1... a0, a-1 a a-m)q сводится к вычислению значения многочлена Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде xq = (anan-1... a0, a-1 a a-m)q сводится к вычислению значения многочлена x10 = an qn + an-1 qn a0 q0 + a-1 q -1 + a-2 q a- m q-m x10 = an qn + an-1 qn a0 q0 + a-1 q -1 + a-2 q a- m q-m средствами десятичной арифметики. средствами десятичной арифметики. Примеры: Примеры: Примеpы:

Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую. Порядок переводов определим в соответствии с рисунком: Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую. Порядок переводов определим в соответствии с рисунком: На этом рисунке использованы следующие обозначения: -в кружках записаны основания систем счисления; -стрелки указывают направление перевода; -номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 4.1. Например: означает перевод Например: означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

Сводная таблица переводов целых чисел