Образовательный центр «Нива» Задачи на построение сечений

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра.

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники.

Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники. C A B K N M L A B C D E F M A B C D E

Задача 1 На ребрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. A B C D M N P

Решение : Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке Е, которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой МЕ. Прямая МЕ пересекает ребро AC в некоторой точке Q.Q. Четырехугольник MNPQ – искомое сечение. A Q M B N E D P C

Образовательный центр «Нива» Если прямые NP и BC параллельны, то прямая NP параллельна грани ABC, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой ME, параллельной прямой NP. Точка Q, как и в первом случае, есть точка пересечения ребра AC с прямой ME. A M Q B C N P D E

Образовательный центр «Нива» Задача 2. Точка M лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно ABC. A B C D M

Образовательный центр «Нива» Решение : Так как секущая плоскость параллельна плоскости ABC, то она параллельна прямым AB, BC и CA. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC. Отсюда вытекает следующий способ построения сечения. Проведем через точку M прямую, параллельную отрезку AB, и обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DA и DB. Затем через точку P проведем прямую, параллельную отрезку AC, и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR – искомое сечение.

Образовательный центр «Нива» A BC D Q M N P

Задача 3. На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС.

Образовательный центр «Нива» Решение : Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. В самом простом случае, когда эти три точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины, нужно провести отрезки AB, BC и CA, и получится искомое сечение – треугольник ABC. A B C

Образовательный центр «Нива» Если три данные точки A,B и C расположены так, как показано на рисунке, то сначала нужно провести отрезки AB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную BC, а через точку C – прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки E и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение – пятиугольник ABCDE – построено A B C D E