Дифференциальные уравнения Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид: Решение этих уравнений основано на следующей теории. Th:Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения выражается суммой его частного решения и общего решения соответствующего линейного однородного уравнения.

Рассмотрим способ нахождения частного решения неоднородного уравнения, ограничиваясь решением таких неоднородных уравнений второго порядка, у которых правая часть является многочленом, т.е. Р(х), или показательной функцией Ае кх. Для отыскания частного решения у* будем применять метод неопределенных коэффициентов, причем у следует искать в таком же виде, какой имеет Р(х) или Ае кх.

а) если Р(х) – многочлен и q0, то у* следует искать в виде многочлена такой же степени # Р(х) = 2х + 3 или х, то у* : Ах + В Р(х) = х 2 или (x 2 +1) или (x 2 + x 1), то y*: Ах 2 + Вх + С При этом коэффициенты многочлена находятся из системы линейных алгебраических уравнений, которые получатся при подстановке в дифференциальное уравнение предполагаемого многочлена и его производных. I. Подбор частного решения у*, когда правая часть – многочлен.

#у" - 2у' - 3у = 2х нач. усл.:у(0) = 0 у'(0) = 1 у* = Ах + В у*' = А; у*" = 0 -2А 2Ах 3В = 2х

k 2 2k 3 = 0 D = = 16 k 2 = -1 y oo = C 1 e -x + C 2 e 3x y' = -C 1 e-x + 3C 2 e 3x 1

б) q = 0 (при этом характеристическое уравнение имеет один нулевой корень), то в многочлене, для частного решения у*, вводится множитель х. Это значит, что вместо А берется Ах, вместо Ах + В Ах 2 + Вх вместо Ах 2 + Вх + С Ах 3 + Вх 2 + Сх т.

в) если р = 0 и q = 0, то в многочлен у* вводятся множитель х 2. #y" – 2y' = 24xk 2 – 2k = 0 q = 0k (k – 2) = 0 у* = Ах 2 + Вхk = 0, k = 2 y*' = 2Ах + ВY = C 1 + C 2 e 2x y*" = 2А 2А 4Ax 2В = 24х у* = -6х 2 – 6х y = -6x 2 – 6x + C 1 + C 2 e 2x

II. Подбор частного решения у* когда правая часть – показательная функция. а)если в правой части задана показательная функция ae bx, то частное решение y* следует искать в виде Ae bx. б)если характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению, имеет корень x = b, то частное решение следует искать в виде y* = Axe bx.

в)если правая часть – сумма функций различного вида, то частное решение составляется в виде суммы функций соответствующих каждому слагаемому. #x 2 + e -x = f(х) y* = Ax 2 + Bx + C + Me -x Каждое слагаемое проще определяется отдельно!

#y" – 3y' – 4y = 9e 2x k 2 – 3k – 4 = 0 D = k 2 = -1 Y = C 1 e -x + C 2 e 4x y* = Ae 2x y*' = 2Ae 2x y*" = 4Ae 2x

4Ae 2x – 6Ae 2x – 4Ae 2x = 9e 2x -6A = 9

Примечание: в каких случаях применим метод подбора частного решения

Пример. Решить уравнение

Ищем решение в виде:y=C 1 (x)y 1 +C 2 (x)y 2 Причем y 1 и y 2 найдены ранее Метод вариации произвольных постоянных