План лекции. 1.Метод наименьших квадратов. 2.Дифференциальные уравнения.

1. Метод наименьших квадратов. В естествознании, в частности в физических и биологических науках, основным методом исследования являются наблюдения, опыты эксперименты. В связи с этим возникает необходимость в нахождении эмпирических формул, составленных на основании опыта и наблюдения. Одним из лучших методов получения таких формул является метод наименьших квадратов, который является эффективным приложением теории экстремумов функции нескольких переменных.

Итак, пусть дана таблица измерений в некотором опыте, связывающая переменные величины X и Y. … … … Значения и будем считать также, как декартовые координаты точек на координатной плоскости XOY. Требуется найти аналитическую зависимость наилучшим образом отображающую опытную зависимость. Выберем подходящую функцию, где а,b… - параметры, так, чтобы соответствующие кривые для различных a, b, … проходили вблизи точек из опыта. Найдём такой единственный набор значений параметров, чтобы соответствующая кривая распола- галась ближе всех других к точкам из опыта, т.е. чтобы ошибки выбора формулы - отклонения значений Y i из опыта,,

от соответствующих значений из Формулы были наименьшими по абсолютной величине. Для этого составляется сумма, где суммируются квадраты указанных ошибок выбора формулы. Тогда ошибки выбора будет наименьшими (по абсолютной величине), если наименьшей будет сумма S. Следовательно, нужно решить задачу на экстремум функции S (a, b, …): найти минимум функции нескольких переменных a, b, ….

Согласно необходимому условию экстремума должна выполнятся следующая система : Решение этой системы даст те значения параметров a, b, …, при которых функция будет наилучшей. (Можно доказать, что необходимое условие экстремума при решении таких задач будет и достаточным). (*)

Пример. Дана таблица измерений Найти подходящую эмпирическую формулу Нанесем на координатную плоскость XOY точки Все точки лежат вблизи некоторой прямой. из опыта: y x

Найдем наилучшую из таких прямых, т.е. найдем линейную зависимость, наиболее точно описывающую опытную зависимость. Для такой зависимости система (*) имеет вид: В нашем случае n=4 и система(**) перепишется : (**) (***)

Для решения этой системы составим следующую расширенную таблицу и заполним пустые клетки: Найденные суммы подставляем в систему (***):

Найденные значения коэффициентов а и b подставляем в уравнение линейной функции: По двум точкам строим эту прямую на координатной плоскости, данной выше: x4 y 3

точки из опыта -точки для построения прямой y x -прямая Нетрудно видеть, что ошибки выбора формулы достаточно малы (могут быть порядка ошибок измерения).

2. Дифференциальные уравнения. Рассмотрим физическую задачу: найти закон прямолинейного движения, при котором в каждый момент времени путь в 2 раза больше скорости движения. Путь S(f) – путь, пройденный к моменту t V(f)- скорость движения, тогда S=2S Решение этого дифференциального уравнения, в которое входит производная, дает искомый закон движения S(t).

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называются обыкновенным дифференциальным уравнением. * Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение. -первого порядка -второго порядка -третьего порядка и т.д.

*Решением дифференциального уравнения называется функция, удовлетворяющая этому уравнению. Нахождение этого решения называется интегрированием дифференциального уравнения. *Если решение уравнения получено в неявном виде, то оно называется интегралом уравнения. *Задача Коши. Задача Коши для уравнения ставится таким образом: среди всех решений уравнения (1) (1)

найти решение, удовлетворяющее системе следующих условий: (2) где - заданные числа Эти условия (2) называются начальными условиями, а соответствующее решение y = y(x) - частным решением уравнения (1).,

*Общее решение уравнения (1)- это решение в виде зависящее от n произвольных постоянных Частные решения уравнения (1) также могут быть получены из общего решения при некоторых числовых значениях констант Пример. 1.Показать что функция есть решение уравнения Найдем y:

Подставляем y и y в уравнение: т.е. функция является решением исходного дифференциального уравнения. 2.Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид (*) Найти его частный интеграл, удовлетворяющий начальному условию Найдем значение С, соответствующее искомому частному интегралу, подставив в общий интеграл (*) заданные начальные условия. У нас, тогда, (с – const)

Подставляем найденное С в (*): Это и есть искомый частный интеграл. 1.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Такие уравнения имеют вид: Характерной чертой этих уравнений является то, что множители, стоящие перед dx и dy, зависят только от одной переменной.

Для решения уравнения разделим переменные x и y по своим слагаемым, для чего поделим обе части уравнения на произведение Переменные разделены. Общий интеграл получим почленным интегрированием левой и правой частей уравнения: